Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos a função e precisamos determinar domínio e imagem dessa função. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções racionais, que envolvem quocientes de polinômios.

Passo 2

Dominio: O domínio de uma função racional é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Isso significa que o denominador não pode ser igual a zero, pois não podemos dividir por zero.
Então, vamos encontrar os valores de que fazem o denominador ser zero:
Resolvendo essa equação:
Aqui, vemos que não existe número real cujo quadrado seja negativo. Portanto, não há valores de que tornam o denominador zero. Assim, o domínio da função é todos os números reais.

Passo 3

Imagem: A imagem da função é o conjunto de todos os possíveis valores de . Para determinar isso, vamos analisar o comportamento da função à medida que assume diferentes valores.
Observando a função , percebemos que o termo de maior grau no numerador é e no denominador é . Quando tende a ou , os termos de maior grau predominam. Simplificando, temos:
A função é conhecida por assumir todos os valores reais, pois para qualquer real, existe um que satisfaz . Portanto, a imagem de também é todos os números reais.

Resposta

  • Domínio: Todos os números reais .
  • Imagem: Todos os números reais .

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Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
Seja $f=g \circ h. Calcule $hb)
Simplifique a seguinte expressão: , se:
Simplifique a seguinte expressão: , se: