Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o domínio e a imagem da função . Aqui, estamos lidando com funções que envolvem raízes e frações, então vamos precisar lembrar como essas operações afetam o domínio e a imagem da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
  1. Denominador diferente de zero: A fração está no denominador da raiz. Para evitar divisão por zero, o denominador não pode ser igual a zero.
  2. Radicando não negativo: Como estamos tirando a raiz de índice 6 (que é par), o radicando precisa ser maior ou igual a zero para que a raiz seja real.
Agora, vamos resolver a desigualdade :
  • Encontramos os pontos críticos onde o numerador ou o denominador são zero: e .
  • Vamos dividir a reta numérica nesses pontos e testar os intervalos:
    1. : Escolha :
    2. : Escolha :
    3. : Escolha :
Portanto, a solução da desigualdade é .
Juntando os resultados, o domínio da função é todos os números reais exceto , ou seja:
í

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores possíveis que pode assumir.
A função é uma raiz de índice par, o que significa que o resultado da raiz será sempre um número real não negativo, já que a raiz de um número não negativo é real.
Considerando que no domínio, e a raiz de índice 6 de um número não negativo também é não negativa, a imagem da função será todos os números reais maiores ou iguais a zero.

Resposta

í

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Seja $f=g \circ h. Calcule $hb)
Esboce os gráficos no mesmo desenho:
Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
Simplifique a seguinte expressão: , se: