Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar o domínio e a imagem da função
. Aqui, estamos lidando com funções que envolvem raízes e frações, então vamos precisar lembrar como essas operações afetam o domínio e a imagem da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
-
Denominador diferente de zero: A fração
está no denominador da raiz. Para evitar divisão por zero, o denominador não pode ser igual a zero. -
Radicando não negativo: Como estamos tirando a raiz de índice 6 (que é par), o radicando
precisa ser maior ou igual a zero para que a raiz seja real.
Agora, vamos resolver a desigualdade
:
-
Encontramos os pontos críticos onde o numerador ou o denominador são zero:
e . -
Vamos dividir a reta numérica nesses pontos e testar os intervalos:
-
: Escolha : -
: Escolha : -
: Escolha :
-
Portanto, a solução da desigualdade é
.
Juntando os resultados, o domínio da função é todos os números reais exceto
, ou seja:
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores possíveis que
pode assumir.
A função
é uma raiz de índice par, o que significa que o resultado da raiz será sempre um número real não negativo, já que a raiz de um número não negativo é real.
Considerando que
no domínio, e a raiz de índice 6 de um número não negativo também é não negativa, a imagem da função será todos os números reais maiores ou iguais a zero.
Resposta
Exercícios relacionados
Seja $f=g \circ h. Calcule $hb)
Esboce os gráficos no mesmo desenho:
Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
Simplifique a seguinte expressão:
, se: