Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no exercício: precisamos encontrar o domínio e a imagem da função
. Aqui, estamos lidando com funções que envolvem raiz quadrada e frações, então vamos precisar entender onde a função está definida (domínio) e quais valores ela pode assumir (imagem).
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
Passo 3
Observamos que a função tem uma raiz quadrada,
. A raiz quadrada só está definida para números que não são negativos. Portanto, precisamos que
.
Passo 4
Além disso, o denominador da fração
não pode ser zero, porque divisão por zero não está definida. Vamos verificar se isso pode acontecer:
Mas
é sempre não negativa, então isso nunca será igual a -1. Portanto, não há restrições adicionais.
Passo 5
Assim, o domínio da função é todos os números reais maiores ou iguais a zero:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a imagem da função, ou seja, todos os possíveis valores de
.
Passo 7
Considerando que
, então
. Assim, o denominador
será sempre maior ou igual a 1.
Passo 8
Como o denominador é pelo menos 1, a fração
será sempre menor ou igual a 1.
Passo 9
Além disso, à medida que
aumenta,
também aumenta, fazendo com que
se aproxime de 0, mas nunca o atinge.
Passo 10
Portanto, a imagem da função é todos os números reais positivos menores ou iguais a 1:
Resposta
- Domínio:
- Imagem:
Exercícios relacionados
Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
Exprima como função de
: o volume de um cone circular reto de raio
se sua altura é o triplo do raio da base.
Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
Simplifique a seguinte expressão:
, se: