Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:

Passo 1

Vamos dar uma olhada no exercício: precisamos encontrar o domínio e a imagem da função . Aqui, estamos lidando com funções que envolvem raiz quadrada e frações, então vamos precisar entender onde a função está definida (domínio) e quais valores ela pode assumir (imagem).

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.

Passo 3

Observamos que a função tem uma raiz quadrada, . A raiz quadrada só está definida para números que não são negativos. Portanto, precisamos que .

Passo 4

Além disso, o denominador da fração não pode ser zero, porque divisão por zero não está definida. Vamos verificar se isso pode acontecer:
Mas é sempre não negativa, então isso nunca será igual a -1. Portanto, não há restrições adicionais.

Passo 5

Assim, o domínio da função é todos os números reais maiores ou iguais a zero:
í

Passo 6

Agora, vamos encontrar a imagem da função, ou seja, todos os possíveis valores de .

Passo 7

Considerando que , então . Assim, o denominador será sempre maior ou igual a 1.

Passo 8

Como o denominador é pelo menos 1, a fração será sempre menor ou igual a 1.

Passo 9

Além disso, à medida que aumenta, também aumenta, fazendo com que se aproxime de 0, mas nunca o atinge.

Passo 10

Portanto, a imagem da função é todos os números reais positivos menores ou iguais a 1:

Resposta

  • Domínio:
  • Imagem:

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