Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que determinar o domínio e a imagem da função . Isso envolve entender para quais valores de a função está definida (domínio) e quais valores de a gente consegue obter (imagem). Para resolver isso, vamos trabalhar com inequações e propriedades das funções radicais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. Como temos uma raiz quadrada, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero para que a função seja real. Então, temos que resolver a inequação:
Vamos resolver essa inequação quadrática. Primeiro, encontramos as raízes da equação .
Fatorando:
Então, as raízes são e .
Agora, vamos analisar os intervalos determinados por essas raízes para ver onde a expressão é positiva ou zero:
  1. Intervalo : Escolha :
    á
  2. Intervalo : Escolha :
    ãá
  3. Intervalo : Escolha :
    á
Então, a inequação é satisfeita quando ou .

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função, ou seja, os possíveis valores que pode assumir.
Sabemos que uma raiz quadrada sempre resulta em um valor não negativo, então .
Para entender melhor, vamos analisar a expressão dentro da raiz, , que é uma parábola com concavidade para cima. O mínimo dessa parábola ocorre no vértice.
A coordenada do vértice é dada por:
Substituindo na expressão:
Como não temos números reais para a raiz de , isso confirma que não está no domínio da função. Portanto, o menor valor dentro da raiz, considerando o domínio, é 0, quando ou .
À medida que vai para , a expressão dentro da raiz também cresce sem limite, então pode assumir qualquer valor a partir de 0 em diante.

Resposta

O domínio da função é ou e a imagem é .

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Simplifique a seguinte expressão: , se:
Verifique se as seguintes funções são constantes: