Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que determinar o domínio e a imagem da função
. Isso envolve entender para quais valores de
a função está definida (domínio) e quais valores de
a gente consegue obter (imagem). Para resolver isso, vamos trabalhar com inequações e propriedades das funções radicais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. Como temos uma raiz quadrada, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero para que a função seja real. Então, temos que resolver a inequação:
Vamos resolver essa inequação quadrática. Primeiro, encontramos as raízes da equação
.
Fatorando:
Então, as raízes são
e
.
Agora, vamos analisar os intervalos determinados por essas raízes para ver onde a expressão é positiva ou zero:
-
Intervalo
: Escolha : -
Intervalo
: Escolha : -
Intervalo
: Escolha :
Então, a inequação é satisfeita quando
ou
.
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função, ou seja, os possíveis valores que
pode assumir.
Sabemos que uma raiz quadrada sempre resulta em um valor não negativo, então
.
Para entender melhor, vamos analisar a expressão dentro da raiz,
, que é uma parábola com concavidade para cima. O mínimo dessa parábola ocorre no vértice.
A coordenada
do vértice é dada por:
Substituindo na expressão:
Como não temos números reais para a raiz de
, isso confirma que
não está no domínio da função. Portanto, o menor valor dentro da raiz, considerando o domínio, é 0, quando
ou
.
À medida que
vai para
, a expressão dentro da raiz também cresce sem limite, então
pode assumir qualquer valor a partir de 0 em diante.
Resposta
O domínio da função é
ou
e a imagem é
.
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Simplifique a seguinte expressão:
, se:
Verifique se as seguintes funções são constantes: