Determine o domínio e a imagem das seguintes funções: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de matemática juntos! A gente precisa descobrir o domínio e a imagem da função . O domínio são todos os valores de que você pode colocar na função sem problemas, e a imagem são todos os valores possíveis que pode assumir. Vamos precisar entender como funciona a função seno e o valor absoluto para chegar lá.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função . A função seno, , é definida para todos os números reais. Isso significa que você pode colocar qualquer valor de lá e sempre vai ter um resultado.
Agora, o valor absoluto também não impõe nenhuma restrição extra. Ele simplesmente vai transformar qualquer resultado negativo em positivo, mas isso não afeta quais valores de são permitidos.
Então, o domínio de é todo os números reais, ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos descobrir a imagem da função . Primeiro, lembre-se que a função seno, , sempre retorna valores entre -1 e 1. Isso quer dizer que:
Quando aplicamos o valor absoluto, qualquer número negativo vira positivo. Então, os valores de que eram negativos vão ser transformados em positivos. Assim, a função vai variar de 0 a 1.
Portanto, a imagem de é o intervalo .

Resposta

O domínio de é (todos os números reais) e a imagem é o intervalo .

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