Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar o domínio e a imagem da função
. Isso faz parte da matéria de funções, especificamente sobre como determinar onde a função está definida (domínio) e quais valores ela pode assumir (imagem). Para isso, vamos precisar analisar as raízes quadradas e as frações na função.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Nessa função, temos dois elementos que impõem restrições:
-
A expressão dentro da raiz quadrada,
, deve ser maior ou igual a zero, porque não dá para tirar raiz quadrada de número negativo no conjunto dos números reais. -
O denominador,
, não pode ser zero, porque divisão por zero não está definida.
Vamos resolver a primeira condição:
Então,
deve estar entre -2 e 2, inclusive.
Agora, aplicando a segunda condição, que
, teremos que excluir o valor
desse intervalo.
Logo, o domínio da função é
pertencente ao intervalo
.
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de todos os possíveis valores de
.
Observando a função
, perceba que:
-
Para
positivo ( ): - O numerador
é positivo. - O denominador
também é positivo. - Então,
será positivo.
- O numerador
-
Para
negativo ( ): - O numerador
é positivo. - O denominador
é negativo. - Então,
será negativo.
- O numerador
Para encontrar os valores máximos e mínimos de
, podemos analisar os limites quando
se aproxima de 0 e quando
se aproxima de
ou
.
- Quando
se aproxima de 0, tende a dependendo do lado. - Nos extremos
e , .
Portanto, a imagem da função é
pertencente ao conjunto dos números reais, excluindo zero. Ou seja,
.
Resposta
O domínio da função é
e a imagem é
.
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