Determine o domínio e a imagem das seguintes funções: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar o domínio e a imagem da função . Isso faz parte da matéria de funções, especificamente sobre como determinar onde a função está definida (domínio) e quais valores ela pode assumir (imagem). Para isso, vamos precisar analisar as raízes quadradas e as frações na função.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Nessa função, temos dois elementos que impõem restrições:
  1. A expressão dentro da raiz quadrada, , deve ser maior ou igual a zero, porque não dá para tirar raiz quadrada de número negativo no conjunto dos números reais.
  2. O denominador, , não pode ser zero, porque divisão por zero não está definida.
Vamos resolver a primeira condição:
Então, deve estar entre -2 e 2, inclusive.
Agora, aplicando a segunda condição, que , teremos que excluir o valor desse intervalo.
Logo, o domínio da função é pertencente ao intervalo .

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de todos os possíveis valores de .
Observando a função , perceba que:
  • Para positivo ( ):
    • O numerador é positivo.
    • O denominador também é positivo.
    • Então, será positivo.
  • Para negativo ( ):
    • O numerador é positivo.
    • O denominador é negativo.
    • Então, será negativo.
Para encontrar os valores máximos e mínimos de , podemos analisar os limites quando se aproxima de 0 e quando se aproxima de ou .
  • Quando se aproxima de 0, tende a dependendo do lado.
  • Nos extremos e , .
Portanto, a imagem da função é pertencente ao conjunto dos números reais, excluindo zero. Ou seja, .

Resposta

O domínio da função é e a imagem é .

Exercícios relacionados

Determine o domínio e a imagem das seguintes funções: .
Determine o domínio e a imagem das seguintes funções: .
Resolva as desigualdades:
4g
Resolva as desigualdades:
Dê o conjunto solução de cada uma das inequações modulares abaixo: