Determine o domínio e a imagem das seguintes funções: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar o domínio e a imagem da função . Aqui, estamos lidando com funções que envolvem raízes quadradas, então vamos precisar entender as condições para que as expressões dentro das raízes sejam não negativas, ou seja, maiores ou iguais a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Como temos duas raízes quadradas na função, precisamos garantir que:
  1. A expressão dentro da primeira raiz quadrada seja não negativa:
  2. A expressão dentro da segunda raiz quadrada, que é , também deve ser não negativa:

Passo 3

Vamos resolver a segunda condição primeiro, pois ela afeta a primeira:
Isso porque a raiz quadrada de um número não negativo é sempre não negativa, e a raiz quadrada só está definida para .

Passo 4

Agora, vamos resolver a primeira condição sabendo que :
Para facilitar, vamos elevar ambos os lados da desigualdade ao quadrado (lembrando que ambos são não negativos):
Agora, vamos resolver essa desigualdade:
As soluções dessa inequação são:
Mas, lembrando que já determinamos que , a solução válida é:

Passo 5

Então, combinando as duas condições que encontramos:
Portanto, o domínio da função é .

Passo 6

Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores que pode assumir quando varia no domínio.
Sabemos que:
Para , vamos analisar o comportamento da função.
Quando :
À medida que aumenta, também aumenta, mas de forma mais lenta. Assim, também aumenta, o que faz com que aumente.
Além disso, à medida que tende ao infinito, tende ao infinito, mas cresce mais rápido do que , então tende ao infinito, e portanto também tende ao infinito.
Portanto, a imagem de é todos os números reais não negativos.

Resposta

O domínio da função é e a imagem é .

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