Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar o domínio e a imagem da função
. Aqui, estamos lidando com funções que envolvem raízes quadradas, então vamos precisar entender as condições para que as expressões dentro das raízes sejam não negativas, ou seja, maiores ou iguais a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Como temos duas raízes quadradas na função, precisamos garantir que:
- A expressão dentro da primeira raiz quadrada seja não negativa:
- A expressão dentro da segunda raiz quadrada, que é
, também deve ser não negativa:
Passo 3
Vamos resolver a segunda condição primeiro, pois ela afeta a primeira:
Isso porque a raiz quadrada de um número não negativo é sempre não negativa, e a raiz quadrada só está definida para
.
Passo 4
Agora, vamos resolver a primeira condição sabendo que
:
Para facilitar, vamos elevar ambos os lados da desigualdade ao quadrado (lembrando que ambos são não negativos):
Agora, vamos resolver essa desigualdade:
As soluções dessa inequação são:
Mas, lembrando que já determinamos que
, a solução válida é:
Passo 5
Então, combinando as duas condições que encontramos:
Portanto, o domínio da função
é
.
Passo 6
Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores que
pode assumir quando
varia no domínio.
Sabemos que:
Para
, vamos analisar o comportamento da função.
Quando
:
À medida que
aumenta,
também aumenta, mas de forma mais lenta. Assim,
também aumenta, o que faz com que
aumente.
Além disso, à medida que
tende ao infinito,
tende ao infinito, mas
cresce mais rápido do que
, então
tende ao infinito, e portanto
também tende ao infinito.
Portanto, a imagem de
é todos os números reais não negativos.
Resposta
O domínio da função
é
e a imagem é
.
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