Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para determinar o domínio e a imagem da função . Vamos precisar entender um pouco sobre funções, especialmente como encontrar o domínio (todos os valores de para os quais a função está definida) e a imagem (todos os valores que a função pode assumir).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio são todos os valores de que fazem com que a expressão dentro da função seja válida, ou seja, que não resulte em números imaginários ou indefinidos.

Passo 3

Para a função , temos duas raízes quadradas aninhadas. Vamos garantir que ambas estejam definidas:
  1. Dentro da primeira raiz quadrada ( ):
    • O que está dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero.
    • Então, .
  2. Dentro da segunda raiz quadrada ( ):
    • Novamente, o que está dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero.
    • Então, .

Passo 4

Vamos resolver a segunda condição:
Para eliminar a raiz quadrada, elevamos ambos os lados ao quadrado:

Passo 5

Agora, combinando as duas condições que encontramos para o domínio:
Isso significa que deve estar entre 0 e 1, inclusive. Portanto, o domínio da função é o intervalo [0, 1].

Passo 6

Agora, vamos determinar a imagem da função, ou seja, todos os possíveis valores de .
Sabemos que . Vamos analisar os limites:
  • Quando :
  • Quando :
Como a função é crescente, conforme aumenta de 0 a 1, também aumenta de 0 a 1, fazendo com que diminua de 1 a 0. Assim, diminui de 1 a 0.
Portanto, a imagem da função é o intervalo [0, 1].

Resposta

  • Domínio:
  • Imagem:

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Seja . Calcule $ha)
Determine e , se:
Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
Simplifique a seguinte expressão: , se: