Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para determinar o domínio e a imagem da função
. Vamos precisar entender um pouco sobre funções, especialmente como encontrar o domínio (todos os valores de
para os quais a função está definida) e a imagem (todos os valores que a função pode assumir).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio são todos os valores de
que fazem com que a expressão dentro da função seja válida, ou seja, que não resulte em números imaginários ou indefinidos.
Passo 3
Para a função
, temos duas raízes quadradas aninhadas. Vamos garantir que ambas estejam definidas:
-
Dentro da primeira raiz quadrada (
): - O que está dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero.
- Então,
.
-
Dentro da segunda raiz quadrada (
): - Novamente, o que está dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero.
- Então,
.
Passo 4
Vamos resolver a segunda condição:
Para eliminar a raiz quadrada, elevamos ambos os lados ao quadrado:
Passo 5
Agora, combinando as duas condições que encontramos para o domínio:
Isso significa que
deve estar entre 0 e 1, inclusive. Portanto, o domínio da função é o intervalo [0, 1].
Passo 6
Agora, vamos determinar a imagem da função, ou seja, todos os possíveis valores de
.
Sabemos que
. Vamos analisar os limites:
-
Quando
: -
Quando
:
Como a função
é crescente, conforme
aumenta de 0 a 1,
também aumenta de 0 a 1, fazendo com que
diminua de 1 a 0. Assim,
diminui de 1 a 0.
Portanto, a imagem da função é o intervalo [0, 1].
Resposta
- Domínio:
- Imagem:
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Seja
. Calcule $ha)
Determine
e
, se:
Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
Simplifique a seguinte expressão:
, se: