Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio e a imagem da função . Isso envolve entender sobre domínios de funções e como encontrar todos os possíveis valores de saída, ou seja, a imagem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os números que podemos colocar na função sem causar problemas, como dividir por zero ou tirar a raiz de um número negativo.

Passo 3

Agora, olhando para a nossa função , temos dois pontos que precisamos analisar:
  1. A raiz quadrada: Dentro da raiz, precisa ser maior ou igual a zero, pois não dá para tirar raiz quadrada de número negativo.
  2. O denominador: O denominador não pode ser zero, porque não dá para dividir por zero.

Passo 4

Vamos começar com a condição da raiz quadrada:
Isso quer dizer que:
Tomando a raiz dos dois lados:
Então, está entre -2 e 2:

Passo 5

Agora, vamos considerar o denominador:
Então, juntando as duas condições, deve estar entre -2 e 2 mas não pode ser zero.

Passo 6

Portanto, o domínio da função é:

Passo 7

Agora, vamos encontrar a imagem da função, que são todos os possíveis valores que pode assumir.
Primeiro, vamos analisar a expressão:
Nós já sabemos que está definida para e .

Passo 8

Vamos expandir :
Podemos reescrever a expressão para facilitar a análise:
Mas isso complica um pouco, então vamos analisar de outra forma.

Passo 9

Vamos considerar que :
Vamos resolver para em termos de :
Multiplicando ambos os lados por :
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Rearranjando:
Fatorando :
Então:
Como é sempre positivo, a expressão do lado direito também deve ser positiva, o que já está garantido porque para todo .

Passo 10

Agora, voltando à expressão de :
Note que deve ser menor ou igual a 4, já que .
Isso implica que pode ser qualquer número real, pois não há restrições adicionais nessa equação.

Passo 11

Portanto, a imagem da função é todos os números reais, ou seja:

Resposta

  • Domínio:
  • Imagem: (todos os números reais)

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Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
Seja . Calcule $ha)
Simplifique a seguinte expressão: , se:
Fazendo uma tabela, esboce os gráficos das seguintes funções: