Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio e a imagem da função
. Isso envolve entender sobre domínios de funções e como encontrar todos os possíveis valores de saída, ou seja, a imagem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os números que podemos colocar na função sem causar problemas, como dividir por zero ou tirar a raiz de um número negativo.
Passo 3
Agora, olhando para a nossa função
, temos dois pontos que precisamos analisar:
- A raiz quadrada: Dentro da raiz,
precisa ser maior ou igual a zero, pois não dá para tirar raiz quadrada de número negativo. - O denominador: O denominador
não pode ser zero, porque não dá para dividir por zero.
Passo 4
Vamos começar com a condição da raiz quadrada:
Isso quer dizer que:
Tomando a raiz dos dois lados:
Então,
está entre -2 e 2:
Passo 5
Agora, vamos considerar o denominador:
Então, juntando as duas condições,
deve estar entre -2 e 2 mas não pode ser zero.
Passo 6
Portanto, o domínio da função é:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a imagem da função, que são todos os possíveis valores que
pode assumir.
Primeiro, vamos analisar a expressão:
Nós já sabemos que
está definida para
e
.
Passo 8
Vamos expandir
:
Podemos reescrever a expressão para facilitar a análise:
Mas isso complica um pouco, então vamos analisar de outra forma.
Passo 9
Vamos considerar que
:
Vamos resolver para
em termos de
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Rearranjando:
Fatorando
:
Então:
Como
é sempre positivo, a expressão do lado direito também deve ser positiva, o que já está garantido porque
para todo
.
Passo 10
Agora, voltando à expressão de
:
Note que
deve ser menor ou igual a 4, já que
.
Isso implica que
pode ser qualquer número real, pois não há restrições adicionais nessa equação.
Passo 11
Portanto, a imagem da função é todos os números reais, ou seja:
Resposta
- Domínio:
- Imagem:
(todos os números reais)
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Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
Seja
. Calcule $ha)
Simplifique a seguinte expressão:
, se:
Fazendo uma tabela, esboce os gráficos das seguintes funções: