Simplifique a seguinte expressão: (f(x) - f(a)) / (x - a), x != a, se: f(x) = x^3 + x, a = 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma expressão que precisa ser simplificada: (f(x) - f(a)) / (x - a), onde e . Basicamente, estamos lidando com polinômios e vamos precisar usar algumas técnicas de álgebra para simplificar isso direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir f(x) e f(a) na expressão. Sabemos que e , então:
Então, a nossa expressão fica:

Passo 3

Agora, vamos simplificar o numerador:
A ideia aqui é ver se conseguimos fatorar esse polinômio. Sabemos que se substituirmos x = 2, o numerador vira zero (porque ), o que indica que é um fator desse polinômio.

Passo 4

Vamos então dividir por para encontrar os outros fatores. Fazendo a divisão polinomial ou usando a fatoração conhecida, encontramos:

Passo 5

Agora, substituímos de volta na nossa expressão original:
Como x != 2, podemos cancelar o do numerador e do denominador:

Resposta

A expressão simplificada é .

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