Determine o domínio e imagem das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o domínio e a imagem da função
. Isso está relacionado ao estudo de funções de várias variáveis, especificamente como identificar quais valores de entrada (domínio) são permitidos e quais valores a função pode produzir (imagem).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores possíveis das variáveis de entrada para os quais a função está definida. No caso da nossa função
, temos duas variáveis:
e
.
Passo 3
Agora, vamos analisar se existem restrições para os valores de
e
. Olhando para a função
, percebemos que
e
são quadrados, o que significa que eles são sempre maiores ou iguais a zero. Além disso, como estamos subtraindo esses termos, a função
estará sempre diminuindo esses valores.
Passo 4
Como não há raízes quadradas ou denominadores que possam causar problemas, não há restrições sobre os valores que
e
podem assumir. Portanto, tanto
quanto
podem ser quaisquer números reais.
Passo 5
Agora, vamos definir o domínio da função. Como
e
podem ser quaisquer números reais, o domínio da função é todo o plano
, ou seja, todos os pares ordenados
onde
e
são números reais.
Passo 6
Em seguida, vamos determinar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir. Nossa função é
. Como
e
são sempre não negativos,
será sempre menor ou igual a zero.
Passo 7
O valor máximo que
pode alcançar é quando
e
, resultando em
. À medida que
e
se afastam de zero,
se torna cada vez mais negativo, sem um limite inferior.
Passo 8
Portanto, a imagem da função
é todos os números reais menores ou iguais a zero, ou seja,
.
Resposta
- Domínio:
(todos os pares de números reais ) - Imagem:
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Calcule o módulo do número complexo dado pelas expressões abaixo
Seja
. Expresse as quantidades abaixo em termos de
e
.
Seja
. Expresse
em termos de
e em termos de
e
.
Seja
se
, e
. A sequência
converge para zero. Verifique que
quando
, logo não converge para
. Note que se
se
, e
, então
quando
. Veja Proposição 1.13 das Notas de Aula.