Determine o domínio e imagem das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o domínio e a imagem da função . Isso está relacionado ao estudo de funções de várias variáveis, especificamente como identificar quais valores de entrada (domínio) são permitidos e quais valores a função pode produzir (imagem).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores possíveis das variáveis de entrada para os quais a função está definida. No caso da nossa função , temos duas variáveis: e .

Passo 3

Agora, vamos analisar se existem restrições para os valores de e . Olhando para a função , percebemos que e são quadrados, o que significa que eles são sempre maiores ou iguais a zero. Além disso, como estamos subtraindo esses termos, a função estará sempre diminuindo esses valores.

Passo 4

Como não há raízes quadradas ou denominadores que possam causar problemas, não há restrições sobre os valores que e podem assumir. Portanto, tanto quanto podem ser quaisquer números reais.

Passo 5

Agora, vamos definir o domínio da função. Como e podem ser quaisquer números reais, o domínio da função é todo o plano , ou seja, todos os pares ordenados onde e são números reais.

Passo 6

Em seguida, vamos determinar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir. Nossa função é . Como e são sempre não negativos, será sempre menor ou igual a zero.

Passo 7

O valor máximo que pode alcançar é quando e , resultando em . À medida que e se afastam de zero, se torna cada vez mais negativo, sem um limite inferior.

Passo 8

Portanto, a imagem da função é todos os números reais menores ou iguais a zero, ou seja, .

Resposta

  • Domínio: (todos os pares de números reais )
  • Imagem:

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Calcule o módulo do número complexo dado pelas expressões abaixo
Seja . Expresse as quantidades abaixo em termos de e .
Seja . Expresse em termos de e em termos de e .
Seja se , e . A sequência converge para zero. Verifique que quando , logo não converge para . Note que se se , e , então quando . Veja Proposição 1.13 das Notas de Aula.