Seja
se
, e
. A sequência
converge para zero. Verifique que
quando
, logo não converge para
. Note que se
se
, e
, então
quando
. Veja Proposição 1.13 das Notas de Aula.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas funções definidas de maneira diferente quando
é zero e quando
não é zero. O objetivo é verificar como essas funções se comportam quando aplicamos a sequência
que converge para zero. Vamos precisar usar conceitos de limites e funções definidas por partes.
Passo 2
Vamos começar analisando a primeira função
. Ela é definida da seguinte forma:
Queremos verificar o que acontece com
quando
tende ao infinito.
Passo 3
Sabemos que
é uma sequência que tende a zero conforme
aumenta. Além disso,
é sempre positivo para qualquer valor de
. Então, para cada
, temos:
Isso significa que, independentemente de quão grande seja
,
sempre será igual a 1.
Passo 4
Agora, vamos ver o que acontece com
quando
tende ao infinito:
Por outro lado, sabemos que:
Portanto, o limite de
quando
tende ao infinito não é igual a
.
Passo 5
Agora, vamos analisar a segunda função
. Ela é definida assim:
Queremos verificar o que acontece com
quando
tende ao infinito.
Passo 6
Para
, temos:
Como
tende ao infinito,
tende a zero:
E sabemos que:
Então, o limite de
quando
tende ao infinito é igual a
.
Resposta
Concluímos que
tende a 1 quando
vai para o infinito, diferentemente de
. Por outro lado,
tende a
quando
vai para o infinito.