Seja g(x) = |x| / x se x != 0, e g(0) = 0. A sequência e^(-n) converge para zero. Verifique que g(e^(-n)) -> 1 quando n -> infinito, logo não converge para g(0). Note que se h(x) = x^2 / |x| se x != 0, e h(0) = 0, então h(e^(-n)) -> h(0) quando n -> infinito. Veja Proposição 1.13 das Notas de Aula.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas funções definidas de maneira diferente quando é zero e quando não é zero. O objetivo é verificar como essas funções se comportam quando aplicamos a sequência que converge para zero. Vamos precisar usar conceitos de limites e funções definidas por partes.

Passo 2

Vamos começar analisando a primeira função . Ela é definida da seguinte forma:
Queremos verificar o que acontece com quando tende ao infinito.

Passo 3

Sabemos que é uma sequência que tende a zero conforme aumenta. Além disso, é sempre positivo para qualquer valor de . Então, para cada , temos:
Isso significa que, independentemente de quão grande seja , sempre será igual a 1.

Passo 4

Agora, vamos ver o que acontece com quando tende ao infinito:
Por outro lado, sabemos que:
Portanto, o limite de quando tende ao infinito não é igual a .

Passo 5

Agora, vamos analisar a segunda função . Ela é definida assim:
Queremos verificar o que acontece com quando tende ao infinito.

Passo 6

Para , temos:
Como tende ao infinito, tende a zero:
E sabemos que:
Então, o limite de quando tende ao infinito é igual a .

Resposta

Concluímos que tende a 1 quando vai para o infinito, diferentemente de . Por outro lado, tende a quando vai para o infinito.

Exercícios relacionados