Seja . Expresse em termos de e em termos de e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá um número complexo na forma polar, . A gente precisa encontrar a parte imaginária de , ou seja, , primeiro em termos de e , e depois em termos de e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de números complexos e suas representações na forma polar e retangular.

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar por usando a forma polar de . Sabemos que quando multiplicamos dois números complexos na forma polar, multiplicamos os módulos e somamos os argumentos. Então:
Sabendo que e (porque está no primeiro quadrante), e , temos:

Passo 3

Agora, queremos a parte imaginária desse resultado. A parte imaginária de um número complexo na forma polar é . Aplicando isso:
Então, expressamos em termos de e .

Passo 4

Agora, vamos expressar em termos de e . Primeiro, escrevemos na forma retangular:
Multiplicando por :

Passo 5

Agora, a parte imaginária desse resultado é a parte que está multiplicada por , ou seja:

Resposta

Portanto, em termos de e , e em termos de e .

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Seja se , e . A sequência converge para zero. Verifique que quando , logo não converge para . Note que se se , e , então quando . Veja Proposição 1.13 das Notas de Aula.
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