Seja
. Expresse
em termos de
e em termos de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá um número complexo
na forma polar,
. A gente precisa encontrar a parte imaginária de
, ou seja,
, primeiro em termos de
e
, e depois em termos de
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de números complexos e suas representações na forma polar e retangular.
Passo 2
Primeiro, vamos multiplicar
por
usando a forma polar de
. Sabemos que quando multiplicamos dois números complexos na forma polar, multiplicamos os módulos e somamos os argumentos. Então:
Sabendo que
e
(porque está no primeiro quadrante), e
, temos:
Passo 3
Agora, queremos a parte imaginária desse resultado. A parte imaginária de um número complexo na forma polar
é
. Aplicando isso:
Então, expressamos em termos de
e
.
Passo 4
Agora, vamos expressar
em termos de
e
. Primeiro, escrevemos
na forma retangular:
Multiplicando por
:
Passo 5
Agora, a parte imaginária desse resultado é a parte que está multiplicada por
, ou seja:
Resposta
Portanto,
em termos de
e
, e
em termos de
e
.
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Determine o domínio e imagem das seguintes funções:
Calcule o módulo do número complexo dado pelas expressões abaixo
Seja
se
, e
. A sequência
converge para zero. Verifique que
quando
, logo não converge para
. Note que se
se
, e
, então
quando
. Veja Proposição 1.13 das Notas de Aula.
Represente no plano complexo, todos os pontos que satisfazem a equação abaixo: