Determine o domínio e a imagem das seguintes funções

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar o domínio e a imagem da função . Pra resolver isso, precisamos entender o que são domínio e imagem em funções matemáticas. O domínio é o conjunto de todos os valores de e para os quais a função está definida, ou seja, onde não rola nenhum “bug”. A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores que pode assumir quando a gente varia e dentro do domínio.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. Olhando para a expressão , vemos que tem uma fração . Aqui, o denominador não pode ser zero, porque divisão por zero é indefinida e aí a função simplesmente “não existe”. Então, a única restrição que temos é que .
Matematicamente, o domínio é dado por:
Isso significa que qualquer par de números reais é válido, desde que não seja zero.

Passo 3

Agora, vamos para a imagem da função. A função dada é exponencial, . Sabemos que a função exponencial (onde pode ser qualquer número real) sempre resulta em um número positivo, ou seja, para todo .
Então, independente dos valores de e (desde que ), o valor de será sempre maior que zero.
Matematicamente, a imagem é:

Resposta

O domínio da função é todos os pares onde , e a imagem é todos os números reais positivos, ou seja, .

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Esboce o gráfico das seguintes funções:
Determine a taxa de variação máxima e mínima de no ponto dado e a direção que isso ocorre.
Trace curvas de nível das seguintes funções para os valores de indicados:
e
Determine a taxa de variação máxima e mínima de no ponto dado e a direção que isso ocorre.