Determine o domínio e a imagem das seguintes funções
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar o domínio e a imagem da função
. Pra resolver isso, precisamos entender o que são domínio e imagem em funções matemáticas. O domínio é o conjunto de todos os valores de
e
para os quais a função está definida, ou seja, onde não rola nenhum “bug”. A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores que
pode assumir quando a gente varia
e
dentro do domínio.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. Olhando para a expressão
, vemos que tem uma fração
. Aqui, o denominador
não pode ser zero, porque divisão por zero é indefinida e aí a função simplesmente “não existe”. Então, a única restrição que temos é que
.
Matematicamente, o domínio é dado por:
Isso significa que qualquer par de números reais
é válido, desde que
não seja zero.
Passo 3
Agora, vamos para a imagem da função. A função dada é exponencial,
. Sabemos que a função exponencial
(onde
pode ser qualquer número real) sempre resulta em um número positivo, ou seja,
para todo
.
Então, independente dos valores de
e
(desde que
), o valor de
será sempre maior que zero.
Matematicamente, a imagem é:
Resposta
O domínio da função é todos os pares
onde
, e a imagem é todos os números reais positivos, ou seja,
.
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Determine a taxa de variação máxima e mínima de
no ponto dado e a direção que isso ocorre.
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e
Determine a taxa de variação máxima e mínima de
no ponto dado e a direção que isso ocorre.