Determine a taxa de variação máxima e mínima de no ponto dado e a direção que isso ocorre.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e queremos encontrar a taxa de variação máxima e mínima dessa função em um ponto específico, além de identificar a direção nessas quais essas taxas ocorrem. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e gradiente.
Passo 2
A taxa de variação de uma função em uma direção qualquer é chamada de derivada direcional. Para encontrar a taxa máxima e mínima, precisamos calcular o gradiente da função , que nos dá a direção de maior aumento da função.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Passo 4
O gradiente da função é o vetor formado pelas derivadas parciais:
Passo 5
A taxa de variação máxima de é igual à magnitude do gradiente . Vamos calcular essa magnitude:
Passo 6
A direção em que ocorre a taxa de variação máxima é a direção do gradiente , ou seja, a direção do vetor .
Passo 7
A taxa de variação mínima de ocorre na direção oposta ao gradiente, ou seja, na direção de . A magnitude da taxa de variação mínima também é 1, mas negativa, indicando que a função diminui nessa direção.
Resposta
A taxa de variação máxima de no ponto dado é e ocorre na direção do vetor . A taxa de variação mínima é e ocorre na direção do vetor .