Esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa esboçar o gráfico da função
. Esse tipo de função pertence ao estudo de funções de duas variáveis e envolve gráficos no espaço tridimensional. Para desenhar esse gráfico, vamos precisar entender que tipo de superfície essa função representa e identificar suas características principais, como o formato geral e a posição no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de função estamos lidando. A função
é uma função quadrática de duas variáveis. Essas funções geralmente formam superfícies chamadas paraboloides.
Passo 3
Observando os coeficientes de
e
, que são negativos, sabemos que o paraboloide abre para baixo. Isso porque os termos quadráticos têm sinais negativos, fazendo com que a superfície se curve para baixo ao invés de para cima.
Passo 4
Vamos encontrar o vértice do paraboloide. O termo constante é
, então o vértice está no ponto onde
e
. Portanto, o vértice é
.
Passo 5
Para entender melhor a forma do gráfico, podemos analisar as seções da superfície. Se fixarmos
, a função se torna
, que é uma parábola que se abre para baixo. O mesmo acontece se fixarmos
, obtendo
. Essas parábolas nos ajudam a visualizar a curvatura do paraboloide.
Passo 6
Agora, vamos resumir as características:
- Tipo de superfície: Paraboloide circular.
- Abertura: Para baixo.
- Vértice:
. - Eixo de simetria: Eixo
.
Resposta
O gráfico da função
é um paraboloide circular que abre para baixo, com seu vértice no ponto
e simetria em torno do eixo
. Para esboçá-lo, desenhe uma superfície em formato de tigela invertida posicionada acima do plano
, alcançando o ponto mais alto em
.
Exercícios relacionados
Determine a taxa de variação máxima e mínima de
no ponto dado e a direção que isso ocorre.
Nos itens abaixo, faça o que se pede: (1) Determine o gradiente de
; (2) Calcule o gradiente no ponto
; (3) Determine a taxa de variação de
em
na direção do vetor
.
Determine o domínio e a imagem das seguintes funções
Trace curvas de nível das seguintes funções para os valores de
indicados:
e