Esboce o gráfico das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa esboçar o gráfico da função . Esse tipo de função pertence ao estudo de funções de duas variáveis e envolve gráficos no espaço tridimensional. Para desenhar esse gráfico, vamos precisar entender que tipo de superfície essa função representa e identificar suas características principais, como o formato geral e a posição no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de função estamos lidando. A função é uma função quadrática de duas variáveis. Essas funções geralmente formam superfícies chamadas paraboloides.

Passo 3

Observando os coeficientes de e , que são negativos, sabemos que o paraboloide abre para baixo. Isso porque os termos quadráticos têm sinais negativos, fazendo com que a superfície se curve para baixo ao invés de para cima.

Passo 4

Vamos encontrar o vértice do paraboloide. O termo constante é , então o vértice está no ponto onde e . Portanto, o vértice é .

Passo 5

Para entender melhor a forma do gráfico, podemos analisar as seções da superfície. Se fixarmos , a função se torna , que é uma parábola que se abre para baixo. O mesmo acontece se fixarmos , obtendo . Essas parábolas nos ajudam a visualizar a curvatura do paraboloide.

Passo 6

Agora, vamos resumir as características:
  • Tipo de superfície: Paraboloide circular.
  • Abertura: Para baixo.
  • Vértice: .
  • Eixo de simetria: Eixo .

Resposta

O gráfico da função é um paraboloide circular que abre para baixo, com seu vértice no ponto e simetria em torno do eixo . Para esboçá-lo, desenhe uma superfície em formato de tigela invertida posicionada acima do plano , alcançando o ponto mais alto em .

Exercícios relacionados

Determine a taxa de variação máxima e mínima de no ponto dado e a direção que isso ocorre.
Nos itens abaixo, faça o que se pede: (1) Determine o gradiente de ; (2) Calcule o gradiente no ponto ; (3) Determine a taxa de variação de em na direção do vetor .
Determine o domínio e a imagem das seguintes funções
Trace curvas de nível das seguintes funções para os valores de indicados:
e