Determine a taxa de variação máxima e mínima de no ponto dado e a direção que isso ocorre.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar as taxas de variação máxima e mínima da função no ponto dado . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariado, especificamente o cálculo de derivadas parciais e o vetor gradiente, que nos ajudam a determinar como a função muda em diferentes direções.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos mostram como a função varia quando mudamos apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, calculamos a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Em seguida, avaliamos essas derivadas parciais no ponto :

Passo 6

Com as derivadas parciais no ponto, constrói-se o vetor gradiente , que é dado por:
O vetor gradiente aponta na direção de maior aumento da função, e sua magnitude representa a taxa de variação máxima.

Passo 7

Para encontrar a magnitude do vetor gradiente, usamos a fórmula da norma:
Então, a taxa de variação máxima é , e ocorre na direção do vetor gradiente .

Passo 8

A taxa de variação mínima ocorre na direção oposta ao vetor gradiente. Portanto, a taxa de variação mínima é , e ocorre na direção .

Resposta

A taxa de variação máxima de no ponto é e ocorre na direção do vetor . A taxa de variação mínima é e ocorre na direção oposta, .

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Nos itens abaixo, faça o que se pede: (1) Determine o gradiente de ; (2) Calcule o gradiente no ponto ; (3) Determine a taxa de variação de em na direção do vetor .
Nos itens abaixo, faça o que se pede: (1) Determine o gradiente de ; (2) Calcule o gradiente no ponto ; (3) Determine a taxa de variação de em na direção do vetor .
Esboce o gráfico das seguintes funções:
Determine o domínio e a imagem das seguintes funções