Determine a taxa de variação máxima e mínima de no ponto dado e a direção que isso ocorre.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar as taxas de variação máxima e mínima da função no ponto dado . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariado, especificamente o cálculo de derivadas parciais e o vetor gradiente, que nos ajudam a determinar como a função muda em diferentes direções.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos mostram como a função varia quando mudamos apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Passo 4
Agora, calculamos a derivada parcial de em relação a :
Passo 5
Em seguida, avaliamos essas derivadas parciais no ponto :
Passo 6
Com as derivadas parciais no ponto, constrói-se o vetor gradiente , que é dado por:
O vetor gradiente aponta na direção de maior aumento da função, e sua magnitude representa a taxa de variação máxima.
Passo 7
Para encontrar a magnitude do vetor gradiente, usamos a fórmula da norma:
Então, a taxa de variação máxima é , e ocorre na direção do vetor gradiente .
Passo 8
A taxa de variação mínima ocorre na direção oposta ao vetor gradiente. Portanto, a taxa de variação mínima é , e ocorre na direção .
Resposta
A taxa de variação máxima de no ponto é e ocorre na direção do vetor . A taxa de variação mínima é e ocorre na direção oposta, .