Determine o domínio maximal
(i)
.
(i)
Passo 1
Vamos lá! Precisamos encontrar o domínio maximal da função
. Isso significa descobrir todos os valores de
para os quais a função está definida. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções radicais e as condições que garantem que as expressões dentro das raízes sejam não negativas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte mais interna da função:
. Para que essa raiz quadrada exista, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero. Então, estabelecemos a seguinte condição:
Passo 3
Resolvendo a inequação acima:
Isso significa que para que
seja real,
deve ser pelo menos 2.
Passo 4
Agora, vamos considerar a expressão completa dentro da raiz externa:
. Para que
seja uma função real, essa expressão também precisa ser maior ou igual a zero:
Isso nos leva a:
Passo 5
Para resolver essa inequação, vamos elevar ambos os lados ao quadrado. Mas atenção: ao fazer isso, precisamos garantir que ambos os lados sejam não negativos, o que já está assegurado porque
:
Passo 6
Agora, rearranjamos a inequação para deixar tudo do mesmo lado:
Vamos analisar o discriminante dessa equação quadrática para ver se ela tem raízes reais:
Passo 7
Como o discriminante
é negativo, a equação quadrática
não tem raízes reais. Isso significa que a expressão
é sempre positiva para qualquer valor de
.
Portanto, a inequação
é verdadeira para todo
real, o que não adiciona nenhuma restrição extra além de
.
Resposta
O domínio maximal da função
é
.