Determine o domínio maximal
(i) f(x) = raiz(x - raiz(x - 2)).

Passo 1

Vamos lá! Precisamos encontrar o domínio maximal da função . Isso significa descobrir todos os valores de para os quais a função está definida. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções radicais e as condições que garantem que as expressões dentro das raízes sejam não negativas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte mais interna da função: . Para que essa raiz quadrada exista, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero. Então, estabelecemos a seguinte condição:

Passo 3

Resolvendo a inequação acima:
Isso significa que para que seja real, deve ser pelo menos 2.

Passo 4

Agora, vamos considerar a expressão completa dentro da raiz externa: . Para que seja uma função real, essa expressão também precisa ser maior ou igual a zero:
Isso nos leva a:

Passo 5

Para resolver essa inequação, vamos elevar ambos os lados ao quadrado. Mas atenção: ao fazer isso, precisamos garantir que ambos os lados sejam não negativos, o que já está assegurado porque :

Passo 6

Agora, rearranjamos a inequação para deixar tudo do mesmo lado:
Vamos analisar o discriminante dessa equação quadrática para ver se ela tem raízes reais:

Passo 7

Como o discriminante é negativo, a equação quadrática não tem raízes reais. Isso significa que a expressão é sempre positiva para qualquer valor de .
Portanto, a inequação é verdadeira para todo real, o que não adiciona nenhuma restrição extra além de .

Resposta

O domínio maximal da função é .

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