Faça um esboço das superfícies de nível das funções abaixo nos níveis indicados.
e)
e)
Passo 1
Vamos ver o que o exercício está pedindo. Temos a função
e queremos desenhar as superfícies de nível para os valores
. Isso envolve entender o que são superfícies de nível e como elas se relacionam com a função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma superfície de nível. Para uma função de várias variáveis, como
, uma superfície de nível é o conjunto de todos os pontos
que satisfazem a equação
, onde
é uma constante. Essencialmente, é uma “corte” da função onde ela assume um valor específico.
Passo 3
Aplicando isso à nossa função
, queremos encontrar os conjuntos de pontos onde
para cada valor de
. Vamos fazer isso para cada um dos valores dados: 0, 1 e 2.
Passo 4
Para
:
Essa é a equação de um plano que inclina-se igualmente nos eixos
e
e se estende ao longo do eixo
.
Passo 5
Para
:
Esse é outro plano paralelo ao primeiro, mas deslocado uma unidade no eixo
.
Passo 6
Para
:
Mais um plano paralelo aos anteriores, deslocado duas unidades no eixo
.
Passo 7
Visualizando esses planos no espaço, todos são paralelos entre si e se estendem indefinidamente ao longo do eixo
. Cada plano está a uma distância constante do outro, dependendo do valor de
.
Resposta
As superfícies de nível da função
para
são planos paralelos definidos pelas equações
,
e
, respectivamente.
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a)
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e)
e)
Faça um esboço das superfícies de nível das funções abaixo nos níveis indicados.
h)
h)
Desenhe o traço de cada curva abaixo.
(d)
(d)