Determine o domínio máximo de definição e faça um esboço das curvas de nível das funções abaixo.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir o domínio de definição da função
e fazer um esboço das curvas de nível dessa função. Isso significa que vamos ver para quais valores de
e
a função está “de boa” para existir e depois desenhar como as curvas dessa função se parecem no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o domínio de definição. Em matemática, o domínio de uma função é o conjunto de todos os possíveis valores das variáveis que deixam a função bem definida, ou seja, que não causam problemas como divisão por zero ou raiz de número negativo.
Passo 3
Vamos analisar a função
. O que está dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero, porque não dá pra tirar raiz de número negativo no conjunto dos números reais.
Passo 4
Olha só o que temos dentro da raiz:
Tanto
quanto
são sempre positivos ou zero, já que qualquer número ao quadrado dá positivo ou zero. Então, a soma deles também será sempre positiva ou zero.
Passo 5
Como a expressão dentro da raiz nunca é negativa, a função
está definida para todos os valores reais de
e
. Não tem restrição, ou seja, o domínio é todo o plano
.
Passo 6
Agora, vamos para as curvas de nível. As curvas de nível são os conjuntos de pontos
que dão um valor constante para a função. Ou seja, queremos resolver:
onde
é uma constante positiva.
Passo 7
Vamos eliminar a raiz para facilitar:
Essa equação representa uma elipse centrada na origem, com os eixos alinhados com os eixos coordenados.
Passo 8
Para desenhar a elipse, podemos reescrever a equação na forma padrão:
Aqui,
e
, onde
e
são os comprimentos dos semi-eixos da elipse.
Passo 9
Isso significa que, para cada valor de
, teremos uma elipse diferente. Quanto maior o
, maior a elipse. As curvas de nível vão se expandir proporcionalmente conforme
aumenta.
Resposta
O domínio máximo de definição da função
é todo o plano real
. As curvas de nível são elipses centradas na origem com a equação
, onde
é uma constante positiva.