Determine o domínio máximo de definição e faça um esboço das curvas de nível das funções abaixo.
c) f(x, y) = raiz(x^2 + (y^2 / 4))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir o domínio de definição da função e fazer um esboço das curvas de nível dessa função. Isso significa que vamos ver para quais valores de e a função está “de boa” para existir e depois desenhar como as curvas dessa função se parecem no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o domínio de definição. Em matemática, o domínio de uma função é o conjunto de todos os possíveis valores das variáveis que deixam a função bem definida, ou seja, que não causam problemas como divisão por zero ou raiz de número negativo.

Passo 3

Vamos analisar a função . O que está dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero, porque não dá pra tirar raiz de número negativo no conjunto dos números reais.

Passo 4

Olha só o que temos dentro da raiz:
Tanto quanto são sempre positivos ou zero, já que qualquer número ao quadrado dá positivo ou zero. Então, a soma deles também será sempre positiva ou zero.

Passo 5

Como a expressão dentro da raiz nunca é negativa, a função está definida para todos os valores reais de e . Não tem restrição, ou seja, o domínio é todo o plano .

Passo 6

Agora, vamos para as curvas de nível. As curvas de nível são os conjuntos de pontos que dão um valor constante para a função. Ou seja, queremos resolver:
onde é uma constante positiva.

Passo 7

Vamos eliminar a raiz para facilitar:
Essa equação representa uma elipse centrada na origem, com os eixos alinhados com os eixos coordenados.

Passo 8

Para desenhar a elipse, podemos reescrever a equação na forma padrão:
Aqui, e , onde e são os comprimentos dos semi-eixos da elipse.

Passo 9

Isso significa que, para cada valor de , teremos uma elipse diferente. Quanto maior o , maior a elipse. As curvas de nível vão se expandir proporcionalmente conforme aumenta.

Resposta

O domínio máximo de definição da função é todo o plano real . As curvas de nível são elipses centradas na origem com a equação , onde é uma constante positiva.

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