Determine o domínio máximo de definição e faça um esboço das curvas de nível das funções abaixo.
j)
e
j)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar o domínio máximo de definição e fazer um esboço das curvas de nível da função
, com as condições
e
. Aqui, estamos trabalhando com funções de duas variáveis e vamos precisar entender conceitos de domínio e curvas de nível.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio máximo de definição da função. O domínio é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está definida. No nosso caso, a função
é definida para qualquer valor de
, pois
não aparece na expressão. Porém, temos restrições adicionais:
e
. Portanto, o domínio é o conjunto de todos os
onde
está entre -1 e 0 e
é maior ou igual a 0.
Passo 3
Agora, vamos entender o que são curvas de nível. As curvas de nível de uma função de duas variáveis são as curvas no plano
onde a função assume um valor constante. Para a nossa função
, vamos fixar valores de
e ver como ficam as equações dessas curvas.
Passo 4
Vamos escolher alguns valores para
, por exemplo,
. Para cada
, temos a equação
.
-
Para
: resulta em . Isso é uma linha vertical no eixo . -
Para
: resulta em ou . Mas como nosso domínio limita entre -1 e 0, consideramos apenas . -
Para
: resulta em ou . Dentro do nosso domínio, apenas é relevante, já que não pode ser menor que -1.
Passo 5
Com isso, podemos esboçar as curvas de nível. Elas serão linhas verticais nas posições permitidas de
dentro do domínio.
-
: linha em . -
: linha em . -
: não há curva correspondente dentro do domínio .
Resposta
O domínio máximo de definição da função
é
e
. As curvas de nível são linhas verticais em
e
dentro desse domínio.
Exercícios relacionados
Determine o domínio máximo de definição e faça um esboço das curvas de nível das funções abaixo.
c)
c)
Seja
.
© Faça um esboço do gráfico de f.
© Faça um esboço do gráfico de f.
Faça um esboço das superfícies de nível das funções abaixo nos níveis indicados.
d)
d)
Desenhe o traço de cada curva abaixo.
(a)
(a)