Determine o domínio máximo , esboce o gráfico e determine se as seguintes funções são monótonas.
(a)
(b)
©

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar o domínio máximo das funções logarítmicas, esboçar o gráfico e ver se elas são monótonas. A matéria aqui envolve funções logarítmicas, seus domínios e propriedades de monotonicidade. Vamos precisar lembrar como identificar o domínio das funções logarítmicas e entender como o gráfico se comporta de acordo com a base do logaritmo.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): .
Primeiro, para que o logaritmo esteja definido, o argumento precisa ser maior que zero. Então, resolvemos a desigualdade:
Então, o domínio máximo dessa função é .

Passo 3

Agora, vamos esboçar o gráfico de . Sabemos que a função logarítmica com base 2 cresce conforme aumenta. O gráfico passa pelo ponto onde (ou seja, ), pois . À medida que aumenta, aumenta, e conforme se aproxima de -1 pela direita, tende a menos infinito.

Passo 4

Para determinar se a função é monótona, observamos que a base do logaritmo, 2, é maior que 1, o que significa que a função é monotonicamente crescente. Isso quer dizer que, conforme aumenta, também aumenta sempre.

Passo 5

Agora, passando para a parte (b): .
Primeiro, o argumento sempre é positivo, então a condição para o domínio é:
Portanto, o domínio máximo é todos os reais exceto .

Passo 6

Vamos esboçar o gráfico de . Como a base está entre 0 e 1, a função de logaritmo é decrescente. Além disso, é sempre positivo e simétrico em relação ao eixo y, então o gráfico será simétrico e decrescerá para ambos os lados de .

Passo 7

Para a monotonicidade, como a base é menor que 1, a função é monotonicamente decrescente. Isso significa que, conforme aumenta (ou seja, conforme aumenta), diminui.

Passo 8

Finalmente, a parte ©: .
Primeiro, o argumento precisa ser positivo:
Então, o domínio máximo é .

Passo 9

Vamos esboçar o gráfico de . A função logarítmica com base 3, que é maior que 1, é crescente. O gráfico passa pelo ponto onde (ou seja, ), pois . Conforme se aproxima de 0 pela esquerda, tende a mais infinito.

Passo 10

Quanto à monotonicidade, como a base é maior que 1 e o interior do logaritmo aumenta conforme se torna mais negativo, a função é monotonicamente crescente.

Resposta

(a) Domínio: . A função é crescente.
(b) Domínio: . A função é decrescente.
© Domínio: . A função é crescente.

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Esboce os gráficos das seguintes funções:
(a)
(b)
©
(d)
Esboce o gráfico das funções abaixo. Determine em quais regiões essas funções são (estritamente) crescentes, (estritamente) decrescentes, negativas e positivas.
(a)
(b)
©
Mostre que as seguintes igualdades valem para todo número real :
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Determine o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries.