Determine o domínio máximo
, esboce o gráfico e determine se as seguintes funções são monótonas.
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar o domínio máximo
das funções logarítmicas, esboçar o gráfico e ver se elas são monótonas. A matéria aqui envolve funções logarítmicas, seus domínios e propriedades de monotonicidade. Vamos precisar lembrar como identificar o domínio das funções logarítmicas e entender como o gráfico se comporta de acordo com a base do logaritmo.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a):
.
Primeiro, para que o logaritmo esteja definido, o argumento
precisa ser maior que zero. Então, resolvemos a desigualdade:
Então, o domínio máximo
dessa função é
.
Passo 3
Agora, vamos esboçar o gráfico de
. Sabemos que a função logarítmica com base 2 cresce conforme
aumenta. O gráfico passa pelo ponto onde
(ou seja,
), pois
. À medida que
aumenta,
aumenta, e conforme
se aproxima de -1 pela direita,
tende a menos infinito.
Passo 4
Para determinar se a função é monótona, observamos que a base do logaritmo, 2, é maior que 1, o que significa que a função é monotonicamente crescente. Isso quer dizer que, conforme
aumenta,
também aumenta sempre.
Passo 5
Agora, passando para a parte (b):
.
Primeiro, o argumento
sempre é positivo, então a condição para o domínio é:
Portanto, o domínio máximo
é todos os reais exceto
.
Passo 6
Vamos esboçar o gráfico de
. Como a base
está entre 0 e 1, a função de logaritmo é decrescente. Além disso,
é sempre positivo e simétrico em relação ao eixo y, então o gráfico será simétrico e decrescerá para ambos os lados de
.
Passo 7
Para a monotonicidade, como a base
é menor que 1, a função
é monotonicamente decrescente. Isso significa que, conforme
aumenta (ou seja, conforme
aumenta),
diminui.
Passo 8
Finalmente, a parte ©:
.
Primeiro, o argumento
precisa ser positivo:
Então, o domínio máximo
é
.
Passo 9
Vamos esboçar o gráfico de
. A função logarítmica com base 3, que é maior que 1, é crescente. O gráfico passa pelo ponto onde
(ou seja,
), pois
. Conforme
se aproxima de 0 pela esquerda,
tende a mais infinito.
Passo 10
Quanto à monotonicidade, como a base
é maior que 1 e o interior do logaritmo
aumenta conforme
se torna mais negativo, a função
é monotonicamente crescente.
Resposta
(a) Domínio:
. A função é crescente.
(b) Domínio:
. A função é decrescente.
© Domínio:
. A função é crescente.
Exercícios relacionados
Esboce os gráficos das seguintes funções:
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Esboce o gráfico das funções abaixo. Determine em quais regiões essas funções são (estritamente) crescentes, (estritamente) decrescentes, negativas e positivas.
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©
Mostre que as seguintes igualdades valem para todo número real
:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Determine o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries.