Mostre que as seguintes igualdades valem para todo número real :
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de trigonometria! A gente precisa provar que várias igualdades trigonométricas são verdadeiras para qualquer número real . Para isso, vamos usar algumas fórmulas importantes da trigonometria, como as fórmulas de adição de ângulos e as fórmulas de ângulos duplos.

Passo 2

Vamos começar com a letra (a): .
A gente vai usar a fórmula de adição de seno:
Aplicando essa fórmula com e :
Sabemos que:
Então:
Pronto, provamos que .

Passo 3

Agora vamos para a letra (b): .
Vamos usar novamente a fórmula de adição de seno, mas dessa vez com e :
Sabemos que:
E também que:
Substituindo:
Aí está, provamos que .

Passo 4

Vamos para a letra ©: .
A gente utiliza a fórmula do cosseno do ângulo duplo:
Essa é uma identidade trigonométrica fundamental que relaciona o cosseno de com o cosseno e o seno de . Portanto, a igualdade já está na forma desejada.

Passo 5

Agora, a letra (d): .
Vamos usar a fórmula do seno do ângulo duplo:
Essa identidade também é uma fórmula básica da trigonometria que relaciona o seno de com o seno e o cosseno de . Assim, a igualdade está comprovada diretamente pela fórmula.

Passo 6

Seguimos para a letra (e): .
Vamos utilizar a fórmula de redução de potência para o cosseno:
Essa identidade nos permite expressar em termos de , provando assim a igualdade dada.

Passo 7

Por fim, a letra (f): .
Vamos usar a fórmula de redução de potência para o seno:
Essa identidade transforma em uma expressão envolvendo , confirmando assim a igualdade apresentada.

Resposta

Todas as igualdades foram comprovadas:

Exercícios relacionados

Determine o domínio máximo , esboce o gráfico e determine se as seguintes funções são monótonas.
(a)
(b)
©
Esboce os gráficos das seguintes funções:
(a)
(b)
©
(d)
Determine o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries.
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o seu intervalo de convergência.