Mostre que as seguintes igualdades valem para todo número real
:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de trigonometria! A gente precisa provar que várias igualdades trigonométricas são verdadeiras para qualquer número real
. Para isso, vamos usar algumas fórmulas importantes da trigonometria, como as fórmulas de adição de ângulos e as fórmulas de ângulos duplos.
Passo 2
Vamos começar com a letra (a): .
A gente vai usar a fórmula de adição de seno:
Aplicando essa fórmula com
e
:
Sabemos que:
Então:
Pronto, provamos que .
Passo 3
Agora vamos para a letra (b): .
Vamos usar novamente a fórmula de adição de seno, mas dessa vez com
e
:
Sabemos que:
E também que:
Substituindo:
Aí está, provamos que .
Passo 4
Vamos para a letra ©: .
A gente utiliza a fórmula do cosseno do ângulo duplo:
Essa é uma identidade trigonométrica fundamental que relaciona o cosseno de
com o cosseno e o seno de
. Portanto, a igualdade já está na forma desejada.
Passo 5
Agora, a letra (d): .
Vamos usar a fórmula do seno do ângulo duplo:
Essa identidade também é uma fórmula básica da trigonometria que relaciona o seno de
com o seno e o cosseno de
. Assim, a igualdade está comprovada diretamente pela fórmula.
Passo 6
Seguimos para a letra (e):
.
Vamos utilizar a fórmula de redução de potência para o cosseno:
Essa identidade nos permite expressar
em termos de
, provando assim a igualdade dada.
Passo 7
Por fim, a letra (f): .
Vamos usar a fórmula de redução de potência para o seno:
Essa identidade transforma em uma expressão envolvendo
, confirmando assim a igualdade apresentada.
Resposta
Todas as igualdades foram comprovadas:
Exercícios relacionados
Determine o domínio máximo
, esboce o gráfico e determine se as seguintes funções são monótonas.
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©
Esboce os gráficos das seguintes funções:
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Determine o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries.
Encontre uma representação em série de potências para a função
e determine o seu intervalo de convergência.