Esboce o gráfico das funções abaixo. Determine em quais regiões essas funções são (estritamente) crescentes, (estritamente) decrescentes, negativas e positivas.
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três funções diferentes e precisamos:
- Esboçar o gráfico de cada uma delas.
- Descobrir onde cada função está crescendo ou decrescendo.
- Verificar em quais regiões as funções são positivas ou negativas.
Vamos precisar usar conceitos de funções exponenciais e suas propriedades, como o crescimento, decrescimento e sinais.
Passo 2
Parte (a):
Primeiro, vamos entender essa função. É uma função exponencial onde a base é 2 e o expoente é linear,
. Funções exponenciais com base maior que 1 (como 2) são sempre crescentes.
Então:
- Crescente: Toda a reta real (
). - Decrescente: Nenhuma região.
- Positiva: Sempre positiva, já que qualquer potência de 2 é positiva.
- Negativa: Nunca negativa.
Passo 3
Parte (b):
Aqui temos uma função exponencial com base 5 e o expoente é o valor absoluto de
. O valor absoluto garante que o expoente seja sempre não negativo.
Para esboçar o gráfico:
- Quando
, , então que é crescente. - Quando
, , então que é decrescente.
Portanto:
- Crescente: Para
. - Decrescente: Para
. - Positiva: Sempre positiva.
- Negativa: Nunca negativa.
Passo 4
Parte ©:
Essa função tem uma base
, que é menor que 1, então a função exponencial
é decrescente.
Para analisar:
- Decrescente: Toda a reta real (
). - Crescente: Nenhuma região.
- Quanto ao sinal:
- Para
→ . Como é sempre positiva e menor que 1 para , isso nunca acontece. - Para
→ Sempre verdadeiro.
- Para
Então:
- Positiva: Nunca positiva.
- Negativa: Sempre negativa.
Resposta
(a)
- Gráfico: Exponencial crescente.
- Crescente em
. - Nunca decrescente.
- Sempre positiva.
- Nunca negativa.
(b)
- Gráfico: V em
, exponenciais crescendo para a direita e decrescendo para a esquerda. - Crescente para
. - Decrescente para
. - Sempre positiva.
- Nunca negativa.
©
- Gráfico: Exponencial decrescente deslocado 2 unidades para baixo.
- Decrescente em
. - Nunca crescente.
- Nunca positiva.
- Sempre negativa.
Exercícios relacionados
Determine o domínio máximo
das seguintes funções:
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©
Esboçe os gráficos das funções abaixo e determine se elas são monótonas.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Esboce os gráficos das seguintes funções:
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Determine o domínio máximo
, esboce o gráfico e determine se as seguintes funções são monótonas.
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©