Esboce os gráficos das seguintes funções:
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. Precisamos esboçar os gráficos de quatro funções diferentes, todas relacionadas a funções trigonométricas e uma que mistura seno e uma função linear. Para resolver isso, vamos precisar entender como cada função se comporta, como suas transformações (como amplitude, período, deslocamentos) afetam o gráfico e usar isso para desenhar os esboços.
Passo 2
Vamos começar com a primeira função:
.
Primeiro, lembra que o gráfico da função cosseno padrão,
, tem amplitude 1 e período
. A presença do coeficiente 3 no argumento de
afeta o período da função.
Passo 3
O período de uma função
é dado por
. Aqui,
, então o período será:
Isso significa que o gráfico de
vai completar uma oscilação completa em
ao invés de
.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda função: .
Essa função é uma combinação de seno com amplitude, frequência e fase alteradas. Vamos entender cada parte.
Passo 5
A amplitude é o coeficiente que multiplica a função seno, que aqui é 2. Isso significa que o gráfico vai oscilar entre -2 e 2.
O coeficiente 3 dentro do seno afeta o período, calculado como
, assim como na função anterior.
O termo
dentro da função seno é um deslocamento de fase. Isso significa que o gráfico será deslocado horizontalmente.
Passo 6
Passando para a terceira função: definida no intervalo
.
Aqui, temos a função tangente do valor absoluto de
.
Passo 7
A função tem assíntotas verticais em
, mas como o domínio está restrito nesse intervalo, só precisamos considerar esse segmento.
O uso de
faz com que a função seja simétrica em relação ao eixo y, já que o valor de
negativo vai gerar o mesmo
que o positivo.
Passo 8
Finalmente, a quarta função: .
Aqui estamos combinando uma função seno com uma função linear.
Passo 9
Para esboçar , vamos considerar como a função linear
altera o gráfico do seno. Basicamente, o seno vai ser “adicionado” a uma linha reta com inclinação 1, o que vai alterar a amplitude e a inclinação geral do gráfico.
Resposta
Prontinho! Esboçamos os gráficos das quatro funções considerando seus diferentes comportamentos e transformações. Cada gráfico reflete as características individuais de amplitude, período, deslocamento de fase e combinação com outras funções.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico das funções abaixo. Determine em quais regiões essas funções são (estritamente) crescentes, (estritamente) decrescentes, negativas e positivas.
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©
Determine o domínio máximo
das seguintes funções:
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©
Determine o domínio máximo
, esboce o gráfico e determine se as seguintes funções são monótonas.
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©
Mostre que as seguintes igualdades valem para todo número real
:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)