Determine o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries.
sumn=0^infty (-1)^n x^2 n(2 n+1)!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar o raio e o intervalo de convergência da série . Isso está dentro do conteúdo de Séries de Potências e vamos precisar usar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar o raio de convergência de uma série. Esse teste diz que se an+1an = (-1)^n+1 x^2(n+1)(2(n+1)+1)! times (2n+1)!(-1)^n x^2n = (-1) times x^2(2n+3)(2n+2) , então a série converge se .
Aqui, . Vamos calcular :

Passo 3

Agora, vamos tirar o valor absoluto e calcular o limite quando | an+1an | = | x^2(2n+3)(2n+2) | tende ao infinito:
limn to infty | x^2(2n+3)(2n+2) | = 0
Quando vai ao infinito, cresce muito, então o limite será:

Passo 4

Como o limite é sempre menor que 1, isso significa que a série converge para todos os valores de . Portanto, o raio de convergência é infinito.

Resposta

O raio de convergência da série é e o intervalo de convergência é .

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