Determine o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar o raio e o intervalo de convergência da série . Isso está dentro do conteúdo de Séries de Potências e vamos precisar usar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar o raio de convergência de uma série. Esse teste diz que se , então a série converge se .
Aqui, . Vamos calcular :

Passo 3

Agora, vamos tirar o valor absoluto e calcular o limite quando tende ao infinito:
Quando vai ao infinito, cresce muito, então o limite será:

Passo 4

Como o limite é sempre menor que 1, isso significa que a série converge para todos os valores de . Portanto, o raio de convergência é infinito.

Resposta

O raio de convergência da série é e o intervalo de convergência é .

Exercícios relacionados

Mostre que as seguintes igualdades valem para todo número real :
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Determine o domínio máximo , esboce o gráfico e determine se as seguintes funções são monótonas.
(a)
(b)
©
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o seu intervalo de convergência.
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o seu intervalo de convergência.