Determine o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar o raio e o intervalo de convergência da série . Isso está dentro do conteúdo de Séries de Potências e vamos precisar usar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar o raio de convergência de uma série. Esse teste diz que se , então a série converge se .
Aqui, . Vamos calcular :
Passo 3
Agora, vamos tirar o valor absoluto e calcular o limite quando | an+1an | = | x^2(2n+3)(2n+2) | tende ao infinito:
limn to infty | x^2(2n+3)(2n+2) | = 0
Quando vai ao infinito, cresce muito, então o limite será:
Passo 4
Como o limite é sempre menor que 1, isso significa que a série converge para todos os valores de . Portanto, o raio de convergência é infinito.
Resposta
O raio de convergência da série é e o intervalo de convergência é .