Determine o domínio de f + g e f/g, onde f(x) = x / (1 + x^2) e g(x) = 1/x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar o domínio de duas expressões: e f/g, onde as funções são dadas por:
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de x para os quais a função está definida. Para isso, vamos precisar entender onde cada função individualmente está definida e depois combinar essas informações para as operações e f/g.

Passo 2

Vamos começar determinando o domínio de cada função separadamente.
Domínio de f(x):
Para que essa função esteja definida, o denominador não pode ser zero:
Como x^2 é sempre não negativo, nunca será zero para nenhum número real x. Portanto, o domínio de f(x) é todos os números reais, ou seja:
í
Domínio de g(x):
Aqui, o denominador x não pode ser zero:
Portanto, o domínio de g(x) é todos os números reais exceto zero:
í

Passo 3

Agora, vamos determinar o domínio de . Quando somamos duas funções, o domínio da soma é a interseção dos domínios das funções individuais.
Domínio de :
ííí
Como í e í, a interseção desses dois conjuntos é:
Portanto, o domínio de é todos os números reais exceto zero.

Passo 4

Agora, vamos determinar o domínio de f/g. Para isso, precisamos que o denominador g(x) seja diferente de zero e que tanto f(x) quanto g(x) estejam definidos.
Domínio de f/g:
  1. : Já sabemos que , e isso nunca é zero para x != 0.
  2. Ambos f(x) e g(x) estão definidos: Isso ocorre quando x != 0.
Portanto, o domínio de f/g também é todos os números reais exceto zero:
í

Resposta

O domínio de e de f/g é todos os números reais exceto zero, ou seja:

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