Determine o domínio de
e o valor de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio da função vetorial
e calcular o valor de
quando
. A função é dada por:
Para resolver isso, vamos precisar entender as condições de existência de cada componente da função vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a primeira componente:
. A função exponencial
está definida para todo número real
, ou seja, não tem restrições. Então, essa parte é válida para qualquer valor de
.
Passo 3
Agora, a segunda componente é . A função arco-seno, , só está definida quando o valor dentro dela está entre -1 e 1. Então, temos a condição:
Isso significa que
precisa estar nesse intervalo para que exista.
Passo 4
Por último, vamos analisar a terceira componente:
. A função logaritmo natural,
, está definida apenas para valores de
maiores que 0. Portanto, para que
exista, precisamos que:
Isso nos dá outra condição para
.
Passo 5
Agora, para encontrar o domínio de
, a gente precisa que todas as componentes estejam definidas ao mesmo tempo. Então, juntando as condições:
-
pode ser qualquer número real para . -
para . -
para .
A interseção dessas condições é:
Passo 6
Então, o domínio de
é o conjunto de todos os números reais
que satisfazem
. Em notação de intervalo, isso é escrito como:
Passo 7
Agora, vamos calcular o valor de
quando
. Basta substituir
em cada componente da função:
Resposta
O domínio de
é
e
.