Determine o domínio de r(t) e o valor de r(t0).
r(t) = < 2 e^(-t), arcsen(t), ln(1-t) > ; t0 = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio da função vetorial r(t) e calcular o valor de quando . A função é dada por:
Para resolver isso, vamos precisar entender as condições de existência de cada componente da função vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira componente: . A função exponencial e^(-t) está definida para todo número real t, ou seja, não tem restrições. Então, essa parte é válida para qualquer valor de t.

Passo 3

Agora, a segunda componente é . A função arco-seno, , só está definida quando o valor dentro dela está entre -1 e 1. Então, temos a condição:
Isso significa que precisa estar nesse intervalo para que exista.

Passo 4

Por último, vamos analisar a terceira componente: . A função logaritmo natural, , está definida apenas para valores de x maiores que 0. Portanto, para que exista, precisamos que:
Isso nos dá outra condição para t.

Passo 5

Agora, para encontrar o domínio de r(t), a gente precisa que todas as componentes estejam definidas ao mesmo tempo. Então, juntando as condições:
  1. t pode ser qualquer número real para .
  2. -1 <= t <= 1 para .
  3. para .
A interseção dessas condições é:

Passo 6

Então, o domínio de r(t) é o conjunto de todos os números reais t que satisfazem . Em notação de intervalo, isso é escrito como:

Passo 7

Agora, vamos calcular o valor de quando . Basta substituir em cada componente da função:

Resposta

O domínio de r(t) é e .

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