Esboce a curva de interseção das superfícies e obtenha uma equação vetorial para a curva em termos do parâmetro x = t.
9x^2 + y^2 + 9z^2 = 81, y = x^2, z > 0

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem duas superfícies:
  1. Uma equação quadrática: , que é uma elipsoide.
  2. Uma parábola: .
    Além disso, temos a condição .
Nosso objetivo é esboçar a curva de interseção dessas duas superfícies e encontrar uma equação vetorial para essa curva, usando como parâmetro. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de álgebra para resolver as equações simultâneas e parametrização de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir a equação da parábola ( ) na equação da elipsoide. Isso vai nos ajudar a eliminar uma das variáveis e simplificar a equação.
Substituindo (já que ) na elipsoide:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos isolar para encontrar uma expressão em termos de :
Dividindo ambos os lados por 9:
Para achar , tiramos a raiz quadrada, lembrando que :

Passo 4

Agora que temos e em termos de , podemos escrever a equação vetorial da curva. A equação vetorial de uma curva no espaço é dada por:
Substituindo , e conforme encontrado:

Resposta

A equação vetorial da curva de interseção em termos do parâmetro é:

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