Esboce a curva de interseção das superfícies e obtenha uma equação vetorial para a curva em termos do parâmetro
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem duas superfícies:
- Uma equação quadrática:
, que é uma elipsoide. - Uma parábola:
.
Além disso, temos a condição.
Nosso objetivo é esboçar a curva de interseção dessas duas superfícies e encontrar uma equação vetorial para essa curva, usando
como parâmetro. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de álgebra para resolver as equações simultâneas e parametrização de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir a equação da parábola (
) na equação da elipsoide. Isso vai nos ajudar a eliminar uma das variáveis e simplificar a equação.
Substituindo
(já que
) na elipsoide:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos isolar
para encontrar uma expressão em termos de
:
Dividindo ambos os lados por 9:
Para achar
, tiramos a raiz quadrada, lembrando que
:
Passo 4
Agora que temos
e
em termos de
, podemos escrever a equação vetorial da curva. A equação vetorial de uma curva no espaço é dada por:
Substituindo
,
e
conforme encontrado:
Resposta
A equação vetorial da curva de interseção em termos do parâmetro
é: