Expresse as equações paramétricas como uma única equação vetorial da forma
r = x(t) i + y(t) j ou r = x(t) i + y(t) j + z(t) k
x = 3 cos(t), y = t + sen(t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Geometria Analítica, onde precisamos transformar equações paramétricas em uma equação vetorial. Para isso, vamos usar as expressões dadas para e e combiná-las numa única expressão que representa a posição vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são equações paramétricas. Elas descrevem as coordenadas e de um ponto em função de um parâmetro, que aqui é . No nosso caso:
Queremos juntar essas duas expressões numa única equação vetorial.

Passo 3

A equação vetorial é uma forma compacta de representar um ponto no plano usando os vetores unitários e para as direções e , respectivamente. A forma geral é:
Então, vamos substituir e nas suas posições.

Passo 4

Substituindo as funções dadas:
Isso cria um vetor que aponta para o ponto no plano para cada valor de .

Resposta

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Determine o domínio de r(t) e o valor de r(t0).
r(t) = < 2 e^(-t), arcsen(t), ln(1-t) > ; t0 = 0
Esboce a curva de interseção das superfícies e obtenha uma equação vetorial para a curva em termos do parâmetro x = t.
9x^2 + y^2 + 9z^2 = 81, y = x^2, z > 0
Expresse as equações paramétricas como uma única equação vetorial da forma
r = x(t) i + y(t) j ou r = x(t) i + y(t) j + z(t) k
x = 2t, y = 2 sen(3t), z = 5 cos(3t)
Determine as equações paramétricas que correspondam às equações vetoriais dadas.
r = (2t - 1)i - 3 raiz(t)j + sen(3t)k