Determine o domínio de e o vetor :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o domínio da função vetorial e calcular o vetor quando . Vamos usar conceitos de funções vetoriais e entender o que significa o domínio de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função vetorial dada:

Aqui, é expressa em termos das componentes e , que são os vetores unitários nas direções x e y, respectivamente.

Passo 3

Agora, para encontrar o domínio da função, precisamos determinar todos os valores de para os quais a função está definida. Observando as componentes:
  • está definida para todo número real .
  • também está definida para todo número real .
Como ambas as componentes são válidas para qualquer valor real de , o domínio da função é todos os números reais.

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o vetor quando . Substituímos por na função:
Sabemos que , então:

Resposta

O domínio da função vetorial é todos os números reais, ou seja, . Além disso, o vetor quando é:

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