Determine o domínio de e o vetor :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio da função vetorial e também calcular o vetor quando . A matéria que vamos usar aqui envolve funções compostas e domínios de funções matemáticas como raiz quadrada, exponenciais e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio de cada componente da função vetorial :
  1. Componente na direção :
    • A expressão dentro da raiz quadrada, , deve ser maior ou igual a zero para termos números reais.
    • Então, .
    • Resolvendo: .
  2. Componente na direção :
    • A função exponencial está definida para todo número real. Não há restrições aqui.
  3. Componente na direção :
    • O argumento do logaritmo, , deve ser maior que zero.
    • Então, .
Agora, para encontrar o domínio da função vetorial completa, precisamos considerar onde todas as componentes estão definidas simultaneamente. Ou seja, encontramos a interseção dos intervalos:
  • De :
  • De :
A interseção desses intervalos é .

Passo 3

Agora, vamos calcular o vetor quando .
  1. Componente na direção :
  2. Componente na direção :
  3. Componente na direção :
Então, substituindo na função vetorial:

Resposta

O domínio da função vetorial é e o vetor .

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Determine a inclinação da reta no espaço 2 -D cuja equação vetorial é .