Determine o domínio de r(t) e o vetor r(t0): r(t) = raiz(4 - t^2) i + e^(-3t) j + ln(t + 1) k ; t0 = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio da função vetorial r(t) e também calcular o vetor r(t0) quando t0 = 0. A matéria que vamos usar aqui envolve funções compostas e domínios de funções matemáticas como raiz quadrada, exponenciais e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio de cada componente da função vetorial r(t):
  1. Componente na direção i:
    • A expressão dentro da raiz quadrada, , deve ser maior ou igual a zero para termos números reais.
    • Então, .
    • Resolvendo: -2 <= t <= 2.
  2. Componente na direção j:
    • A função exponencial está definida para todo número real. Não há restrições aqui.
  3. Componente na direção k:
    • O argumento do logaritmo, , deve ser maior que zero.
    • Então, .
Agora, para encontrar o domínio da função vetorial completa, precisamos considerar onde todas as componentes estão definidas simultaneamente. Ou seja, encontramos a interseção dos intervalos:
  • De : -2 <= t <= 2
  • De :
A interseção desses intervalos é .

Passo 3

Agora, vamos calcular o vetor r(t0) quando t0 = 0.
  1. Componente na direção i:
  2. Componente na direção j:
  3. Componente na direção k:
Então, substituindo t0 = 0 na função vetorial:

Resposta

O domínio da função vetorial r(t) é e o vetor .

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