Determine o domínio de
e o vetor
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio da função vetorial
e também calcular o vetor
quando
. A matéria que vamos usar aqui envolve funções compostas e domínios de funções matemáticas como raiz quadrada, exponenciais e logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio de cada componente da função vetorial
:
-
Componente na direção
: - A expressão dentro da raiz quadrada,
, deve ser maior ou igual a zero para termos números reais. - Então,
. - Resolvendo:
→ .
- A expressão dentro da raiz quadrada,
-
Componente na direção
: - A função exponencial está definida para todo número real. Não há restrições aqui.
-
Componente na direção
: - O argumento do logaritmo,
, deve ser maior que zero. - Então,
→ .
- O argumento do logaritmo,
Agora, para encontrar o domínio da função vetorial completa, precisamos considerar onde todas as componentes estão definidas simultaneamente. Ou seja, encontramos a interseção dos intervalos:
- De
: - De
:
A interseção desses intervalos é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o vetor
quando
.
-
Componente na direção
: -
-
Componente na direção
: -
-
Componente na direção
: -
Então, substituindo
na função vetorial:
Resposta
O domínio da função vetorial
é
e o vetor
.
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.