Determine o domínio das seguintes funções: d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar o domínio da função
. Aqui, estamos lidando com domínio de funções, que basicamente significa descobrir todos os valores de
que fazem a função ser válida. Como temos uma raiz quadrada, precisamos garantir que o que está dentro dela seja maior ou igual a zero para que a expressão seja real.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a expressão dentro da raiz quadrada seja não negativa. Isso significa que:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa inequação quadrática. Primeiro, vamos reorganizar os termos para facilitar:
Multiplicando toda a inequação por
(lembre-se de inverter o sinal da desigualdade):
Passo 4
Vamos encontrar as raízes da equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
.
Calculando o discriminante:
Então, as raízes são:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos analisar o sinal da inequação
. As raízes dividem a reta numérica em três intervalos:
,
, e
.
Testando um valor em cada intervalo:
-
Para
, por exemplo : -
Para
, por exemplo : -
Para
, por exemplo :
Então, a inequação é verdadeira apenas no intervalo
.
Resposta
O domínio da função
é
.