Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a série
converge ou diverge. O conteúdo envolvido aqui é a análise de séries numéricas, e para resolver vamos precisar entender os testes de convergência, como o teste da série p e o teste da série alternada.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para os termos da série:
. Sabemos que
é igual a
, então podemos reescrever a série como
. Isso é uma série alternada porque os termos mudam de sinal.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o teste da série alternada. Esse teste diz que uma série alternada
converge se:
- Os termos
são positivos. - Os termos
estão decrescendo. - O limite de
quando tende ao infinito é zero.
No nosso caso,
. Claramente,
é positivo, está decrescendo conforme
aumenta, e
. Então, pela série alternada, a série converge.
Passo 4
Apesar de a série convergir, é importante verificar se ela converge absolutamente ou condicionalmente. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos:
. Esta é uma série p com
, e sabemos que uma série p converge se
. Como
, a série dos valores absolutos diverge. Portanto, a série original converge condicionalmente.
Resposta
A série
converge condicionalmente.