Determine se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty cos (n pi)n^3 / 4

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a série sumn=1^infty cos (n pi)n^3 / 4 converge ou diverge. O conteúdo envolvido aqui é a análise de séries numéricas, e para resolver vamos precisar entender os testes de convergência, como o teste da série p e o teste da série alternada.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os termos da série: cos (n pi)n^3 / 4. Sabemos que cos(n pi) é igual a (-1)^n, então podemos reescrever a série como sumn=1^infty (-1)^nn^3 / 4. Isso é uma série alternada porque os termos mudam de sinal.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o teste da série alternada. Esse teste diz que uma série alternada sum (-1)^n an converge se:
  1. Os termos an são positivos.
  2. Os termos an estão decrescendo.
  3. O limite de an quando n tende ao infinito é zero.
No nosso caso, an = 1n^3/4. Claramente, an é positivo, está decrescendo conforme n aumenta, e limn to infty 1n^3/4 = 0. Então, pela série alternada, a série converge.

Passo 4

Apesar de a série convergir, é importante verificar se ela converge absolutamente ou condicionalmente. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos: sumn=1^infty 1n^3 / 4. Esta é uma série p com p = 3/4, e sabemos que uma série p converge se p > 1. Como 3/4 < 1, a série dos valores absolutos diverge. Portanto, a série original converge condicionalmente.

Resposta

A série sumn=1^infty cos (n pi)n^3 / 4 converge condicionalmente.

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