Determine as raízes, as coordenadas do vértice, a imagem, faça um esboço do gráfico e o estudo de sinal das funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente trabalhar com a função quadrática . O assunto aqui é funções do segundo grau, que lidam com parábolas. Vamos precisar encontrar as raízes da função, as coordenadas do vértice, a imagem, fazer um esboço do gráfico e analisar onde a função é positiva ou negativa.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as raízes da função, ou seja, os valores de que fazem . Para isso, podemos usar a fórmula de Bhaskara, que é ótima para resolver equações quadráticas.
A fórmula de Bhaskara é:
Aqui, os coeficientes são:

Passo 3

Vamos calcular o discriminante ( ):
Como o discriminante é zero, isso significa que a função tem uma raiz dupla.

Passo 4

Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Então, a única raiz é .

Passo 5

Agora, vamos encontrar as coordenadas do vértice da parábola. A fórmula para encontrar o do vértice é:
Para encontrar o do vértice, substituímos na função:
Então, as coordenadas do vértice são .

Passo 6

A imagem da função é o valor mínimo ou máximo que a função alcança. Como o coeficiente de é positivo ( ), a parábola abre para cima, e o vértice representa o ponto mínimo. Portanto, a imagem é .

Passo 7

Vamos esboçar o gráfico da parábola:
  • Vértice:
  • Raiz: (passa pelo vértice)
  • Como a parábola abre para cima e passa pelo vértice, o gráfico toca o eixo apenas em e sobe dos dois lados.

Passo 8

Por fim, vamos fazer o estudo de sinal da função:
Como um quadrado é sempre maior ou igual a zero:
Assim, a função é positiva para todos os valores de menos em , onde ela é zero.

Resposta

  • Raiz:
  • Vértice:
  • Imagem:
  • Gráfico: Uma parábola que toca o eixo em e abre para cima.
  • Estudo de sinal: para todo , sendo zero apenas em .

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