Determine as raízes, as coordenadas do vértice, a imagem, faça um esboço do gráfico e o estudo de sinal das funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente trabalhar com a função quadrática
. O assunto aqui é funções do segundo grau, que lidam com parábolas. Vamos precisar encontrar as raízes da função, as coordenadas do vértice, a imagem, fazer um esboço do gráfico e analisar onde a função é positiva ou negativa.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as raízes da função, ou seja, os valores de
que fazem
. Para isso, podemos usar a fórmula de Bhaskara, que é ótima para resolver equações quadráticas.
A fórmula de Bhaskara é:
Aqui, os coeficientes são:
Passo 3
Vamos calcular o discriminante (
):
Como o discriminante é zero, isso significa que a função tem uma raiz dupla.
Passo 4
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Então, a única raiz é
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar as coordenadas do vértice da parábola. A fórmula para encontrar o
do vértice é:
Para encontrar o
do vértice, substituímos
na função:
Então, as coordenadas do vértice são
.
Passo 6
A imagem da função é o valor mínimo ou máximo que a função alcança. Como o coeficiente de
é positivo (
), a parábola abre para cima, e o vértice representa o ponto mínimo. Portanto, a imagem é
.
Passo 7
Vamos esboçar o gráfico da parábola:
- Vértice:
- Raiz:
(passa pelo vértice) - Como a parábola abre para cima e passa pelo vértice, o gráfico toca o eixo
apenas em e sobe dos dois lados.
Passo 8
Por fim, vamos fazer o estudo de sinal da função:
Como um quadrado é sempre maior ou igual a zero:
Assim, a função é positiva para todos os valores de
menos em
, onde ela é zero.
Resposta
- Raiz:
- Vértice:
- Imagem:
- Gráfico: Uma parábola que toca o eixo
em e abre para cima. - Estudo de sinal:
para todo , sendo zero apenas em .
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