Determine o domínio das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por duas raízes quadradas: . Nosso objetivo aqui é descobrir para quais valores de essa função está “de boas”, ou seja, qual é o domínio dela. Para isso, precisamos lembrar que o que está dentro de uma raiz quadrada tem que ser maior ou igual a zero, porque não dá pra tirar raiz de número negativo se estamos falando de números reais.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira raiz: . Para que essa expressão seja válida, o que está dentro da raiz, , precisa ser maior ou igual a zero. Então, estabelecemos a primeira condição:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa desigualdade. Sabemos que é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:
Para encontrar onde essa expressão é maior ou igual a zero, analisamos os intervalos determinados pelas raízes e :
  • Quando , por exemplo, :
  • Quando , por exemplo, :
  • Quando , por exemplo, :
Então, a solução dessa desigualdade é:

Passo 4

Agora, vamos para a segunda raiz: . De novo, o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero:

Passo 5

Vamos resolver essa segunda desigualdade. Primeiro, fatoramos o polinômio:
Então, temos:
Analisando os intervalos determinados pelas raízes e :
  • Quando , por exemplo, :
  • Quando , por exemplo, :
  • Quando , por exemplo, :
Então, a solução dessa desigualdade é:

Passo 6

Agora, para encontrar o domínio da função , precisamos que ambas as condições sejam satisfeitas simultaneamente. Ou seja, os valores de precisam satisfazer as duas soluções que encontramos:
  1. ou
  2. ou
Vamos ver onde essas soluções se sobrepõem:
  • Para : Ambas as condições são satisfeitas.
  • Para : Ambas as condições são satisfeitas.
  • Para : A primeira condição é satisfeita ( ), mas a segunda não ( ).
Portanto, os valores de que atendem às duas condições são ou .

Resposta

O domínio da função é ou .

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Esboce o gráfico de cada função:
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