Determine o domínio das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por duas raízes quadradas:
. Nosso objetivo aqui é descobrir para quais valores de
essa função está “de boas”, ou seja, qual é o domínio dela. Para isso, precisamos lembrar que o que está dentro de uma raiz quadrada tem que ser maior ou igual a zero, porque não dá pra tirar raiz de número negativo se estamos falando de números reais.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a primeira raiz:
. Para que essa expressão seja válida, o que está dentro da raiz,
, precisa ser maior ou igual a zero. Então, estabelecemos a primeira condição:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa desigualdade. Sabemos que
é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:
Para encontrar onde essa expressão é maior ou igual a zero, analisamos os intervalos determinados pelas raízes
e
:
-
Quando
, por exemplo, : -
Quando
, por exemplo, : -
Quando
, por exemplo, :
Então, a solução dessa desigualdade é:
Passo 4
Agora, vamos para a segunda raiz:
. De novo, o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero:
Passo 5
Vamos resolver essa segunda desigualdade. Primeiro, fatoramos o polinômio:
Então, temos:
Analisando os intervalos determinados pelas raízes
e
:
-
Quando
, por exemplo, : -
Quando
, por exemplo, : -
Quando
, por exemplo, :
Então, a solução dessa desigualdade é:
Passo 6
Agora, para encontrar o domínio da função
, precisamos que ambas as condições sejam satisfeitas simultaneamente. Ou seja, os valores de
precisam satisfazer as duas soluções que encontramos:
-
ou -
ou
Vamos ver onde essas soluções se sobrepõem:
- Para
: Ambas as condições são satisfeitas. - Para
: Ambas as condições são satisfeitas. - Para
: A primeira condição é satisfeita ( ), mas a segunda não ( ).
Portanto, os valores de
que atendem às duas condições são
ou
.
Resposta
O domínio da função é
ou
.
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