Determine as raízes, as coordenadas do vértice, a imagem, faça um esboço do gráfico e o estudo de sinal das funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de função do segundo grau juntos! A gente precisa encontrar as raízes, as coordenadas do vértice, a imagem da função, fazer um esboço do gráfico e analisar onde a função é positiva ou negativa. Para isso, vamos usar fórmulas básicas de equações quadráticas e um pouco de geometria.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as raízes da função, ou seja, os valores de
que fazem
. A função dada é
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar essas raízes. A fórmula é:
Aqui,
,
e
.
Passo 3
Vamos calcular o discriminante (
) primeiro:
Como
, sabemos que a função tem duas raízes reais e distintas.
Passo 4
Agora, aplicando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções:
Então, as raízes são
e
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar as coordenadas do vértice. O vértice de uma parábola dada por
tem coordenadas:
Substituindo os valores:
Agora, calculando
:
Então, o vértice está em
.
Passo 6
A imagem da função é o valor máximo ou mínimo que a função alcança. Como o coeficiente de
é negativo (
), a parábola abre para baixo, o que significa que o vértice representa o ponto mais alto. Portanto, a imagem da função é
.
Passo 7
Vamos fazer um esboço do gráfico com base nas informações que encontramos:
- As raízes são
e . - O vértice está em
. - A parábola abre para baixo.
[Imagine um gráfico aqui com a parábola passando pelos pontos (2,0) e (3,0), com o vértice no ponto (2,5, 0,25).]
Passo 8
Por fim, vamos fazer o estudo de sinal da função. Queremos saber em quais intervalos a função é positiva (acima do eixo
) e negativa (abaixo do eixo
).
Sabemos que a parábola cruza o eixo
nas raízes
e
e abre para baixo. Portanto:
- Para
: A função é negativa. - Para
: A função é positiva. - Para
: A função é negativa.
Resposta
As raízes da função são
e
. O vértice está nas coordenadas
e a imagem da função é
. O gráfico é uma parábola que abre para baixo, cruzando o eixo
nos pontos
e
. No estudo de sinal, a função é negativa para
e
, e positiva entre
.