Determine as raízes, as coordenadas do vértice, a imagem, faça um esboço do gráfico e o estudo de sinal das funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de função do segundo grau juntos! A gente precisa encontrar as raízes, as coordenadas do vértice, a imagem da função, fazer um esboço do gráfico e analisar onde a função é positiva ou negativa. Para isso, vamos usar fórmulas básicas de equações quadráticas e um pouco de geometria.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as raízes da função, ou seja, os valores de que fazem . A função dada é . Podemos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar essas raízes. A fórmula é:
Aqui, , e .

Passo 3

Vamos calcular o discriminante ( ) primeiro:
Como , sabemos que a função tem duas raízes reais e distintas.

Passo 4

Agora, aplicando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções:
Então, as raízes são e .

Passo 5

Agora, vamos encontrar as coordenadas do vértice. O vértice de uma parábola dada por tem coordenadas:
Substituindo os valores:
Agora, calculando :
Então, o vértice está em .

Passo 6

A imagem da função é o valor máximo ou mínimo que a função alcança. Como o coeficiente de é negativo ( ), a parábola abre para baixo, o que significa que o vértice representa o ponto mais alto. Portanto, a imagem da função é .

Passo 7

Vamos fazer um esboço do gráfico com base nas informações que encontramos:
  • As raízes são e .
  • O vértice está em .
  • A parábola abre para baixo.
[Imagine um gráfico aqui com a parábola passando pelos pontos (2,0) e (3,0), com o vértice no ponto (2,5, 0,25).]

Passo 8

Por fim, vamos fazer o estudo de sinal da função. Queremos saber em quais intervalos a função é positiva (acima do eixo ) e negativa (abaixo do eixo ).
Sabemos que a parábola cruza o eixo nas raízes e e abre para baixo. Portanto:
  • Para : A função é negativa.
  • Para : A função é positiva.
  • Para : A função é negativa.

Resposta

As raízes da função são e . O vértice está nas coordenadas e a imagem da função é . O gráfico é uma parábola que abre para baixo, cruzando o eixo nos pontos e . No estudo de sinal, a função é negativa para e , e positiva entre .

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