Determine as raízes, as coordenadas do vértice, a imagem, faça um esboço do gráfico e o estudo de sinal das funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de função do segundo grau juntos! A gente precisa encontrar as raízes, as coordenadas do vértice, a imagem da função, fazer um esboço do gráfico e analisar onde a função é positiva ou negativa. Para isso, vamos usar fórmulas básicas de equações quadráticas e um pouco de geometria.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as raízes da função, ou seja, os valores de que fazem . A função dada é . Podemos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar essas raízes. A fórmula é:
Aqui, , e .
Passo 3
Vamos calcular o discriminante () primeiro:
Como , sabemos que a função tem duas raízes reais e distintas.
Passo 4
Agora, aplicando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções:
Então, as raízes são e .
Passo 5
Agora, vamos encontrar as coordenadas do vértice. O vértice de uma parábola dada por tem coordenadas:
Substituindo os valores:
Agora, calculando :
Então, o vértice está em .
Passo 6
A imagem da função é o valor máximo ou mínimo que a função alcança. Como o coeficiente de é negativo (), a parábola abre para baixo, o que significa que o vértice representa o ponto mais alto. Portanto, a imagem da função é .
Passo 7
Vamos fazer um esboço do gráfico com base nas informações que encontramos:
As raízes são e .
O vértice está em .
A parábola abre para baixo.
[Imagine um gráfico aqui com a parábola passando pelos pontos (2,0) e (3,0), com o vértice no ponto (2,5, 0,25).]
Passo 8
Por fim, vamos fazer o estudo de sinal da função. Queremos saber em quais intervalos a função é positiva (acima do eixo ) e negativa (abaixo do eixo ).
Sabemos que a parábola cruza o eixo nas raízes e e abre para baixo. Portanto:
Para : A função é negativa.
Para : A função é positiva.
Para : A função é negativa.
Resposta
As raízes da função são e . O vértice está nas coordenadas e a imagem da função é . O gráfico é uma parábola que abre para baixo, cruzando o eixo nos pontos e . No estudo de sinal, a função é negativa para e , e positiva entre .