Determine o domínio das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o domínio da função . Isso significa que precisamos descobrir para quais valores de essa função está definida, ou seja, onde a expressão dentro da raiz quadrada é não negativa e o denominador não é igual a zero. Vamos usar conhecimentos de álgebra e análise de funções para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador da fração dentro da raiz: . Para garantir que a função esteja definida, esse denominador não pode ser zero, porque divisão por zero não é permitida. Então, vamos encontrar os valores de que tornam o denominador zero.

Passo 3

Vamos resolver a equação . Para isso, podemos fatorar o polinômio:
Então, o denominador será zero quando ou , ou seja, quando ou . Portanto, e .

Passo 4

Agora, vamos garantir que a expressão dentro da raiz quadrada seja não negativa. Ou seja, precisamos que:
Para resolver essa desigualdade, vamos analisar onde o numerador e o denominador são positivos ou negativos.

Passo 5

Primeiro, vamos fatorar o numerador :
Agora, temos a fração:

Passo 6

Vamos identificar os pontos críticos onde cada fator é zero:
Esses pontos dividem a linha dos números reais em intervalos que vamos analisar.

Passo 7

Vamos listar os intervalos e determinar o sinal de cada fator dentro deles:
  1. Intervalo:
    • Resultado da fração:
  2. Intervalo:
    • Resultado da fração:
  3. Intervalo:
    • Resultado da fração:
  4. Intervalo:
    • Resultado da fração:
  5. Intervalo:
    • Resultado da fração:

Passo 8

Queremos que a fração seja maior ou igual a zero. Observando os resultados dos intervalos:
  • : → válido
  • : → inválido
  • : → válido
  • : → inválido
  • : → válido
Lembrando que e devido ao denominador.

Resposta

O domínio da função é:

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Determine o domínio das seguintes funções:
Classifique cada função como uma função potência, função raiz, função polinomial (estabeleça seu grau), função racional, função algébrica ou função trigonométrica.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)