Determine o domínio das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o domínio da função
. Isso significa que precisamos descobrir para quais valores de
essa função está definida, ou seja, onde a expressão dentro da raiz quadrada é não negativa e o denominador não é igual a zero. Vamos usar conhecimentos de álgebra e análise de funções para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o denominador da fração dentro da raiz:
. Para garantir que a função esteja definida, esse denominador não pode ser zero, porque divisão por zero não é permitida. Então, vamos encontrar os valores de
que tornam o denominador zero.
Passo 3
Vamos resolver a equação
. Para isso, podemos fatorar o polinômio:
Então, o denominador será zero quando
ou
, ou seja, quando
ou
. Portanto,
e
.
Passo 4
Agora, vamos garantir que a expressão dentro da raiz quadrada seja não negativa. Ou seja, precisamos que:
Para resolver essa desigualdade, vamos analisar onde o numerador e o denominador são positivos ou negativos.
Passo 5
Primeiro, vamos fatorar o numerador
:
Agora, temos a fração:
Passo 6
Vamos identificar os pontos críticos onde cada fator é zero:
-
→ -
→ -
→ -
→
Esses pontos dividem a linha dos números reais em intervalos que vamos analisar.
Passo 7
Vamos listar os intervalos e determinar o sinal de cada fator dentro deles:
-
Intervalo:
-
-
-
-
- Resultado da fração:
-
-
Intervalo:
-
-
-
-
- Resultado da fração:
-
-
Intervalo:
-
-
-
-
- Resultado da fração:
-
-
Intervalo:
-
-
-
-
- Resultado da fração:
-
-
Intervalo:
-
-
-
-
- Resultado da fração:
-
Passo 8
Queremos que a fração seja maior ou igual a zero. Observando os resultados dos intervalos:
-
: → válido -
: → inválido -
: → válido -
: → inválido -
: → válido
Lembrando que
e
devido ao denominador.
Resposta
O domínio da função
é:
Exercícios relacionados
O potencial elétrico, em volts, em qualquer ponto do plano xy é dado por
e, a distância é medida em metros. Determine a taxa de variação máxima do potencial
em
.
Determine o domínio das seguintes funções:
Classifique cada função como uma função potência, função raiz, função polinomial (estabeleça seu grau), função racional, função algébrica ou função trigonométrica.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)