Encontre a equação da elipse com centro na origem, focos em
e vértices em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver uma equação de elipse. A questão nos dá o centro na origem, os focos em
e os vértices em
. Para isso, vamos usar as propriedades das elipses e algumas fórmulas básicas que envolvem seus parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os termos:
- Centro: O ponto central da elipse, que aqui é a origem
. - Vértices: São os pontos mais distantes do centro ao longo do eixo maior. No nosso caso, estão em
, então o comprimento do eixo maior é , o que significa que . - Focos: Pontos internos à elipse que ajudam a definir sua forma. Estão em
, então a distância do centro a cada foco é .
Passo 3
Sabemos que, para uma elipse com eixo maior horizontal, a relação entre
,
e
é dada por:
Já temos
e
. Vamos substituir esses valores na fórmula para encontrar
.
Portanto,
.
Passo 4
Agora que temos
e
, podemos escrever a equação padrão da elipse com centro na origem:
Substituindo
e
na equação:
Resposta
A equação da elipse é: