Encontre a equação da elipse com centro na origem, focos em +- 3,0 e vértices em +- 5,0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver uma equação de elipse. A questão nos dá o centro na origem, os focos em e os vértices em . Para isso, vamos usar as propriedades das elipses e algumas fórmulas básicas que envolvem seus parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os termos:
  • Centro: O ponto central da elipse, que aqui é a origem (0,0).
  • Vértices: São os pontos mais distantes do centro ao longo do eixo maior. No nosso caso, estão em , então o comprimento do eixo maior é , o que significa que .
  • Focos: Pontos internos à elipse que ajudam a definir sua forma. Estão em , então a distância do centro a cada foco é .

Passo 3

Sabemos que, para uma elipse com eixo maior horizontal, a relação entre a, b e c é dada por:
Já temos e . Vamos substituir esses valores na fórmula para encontrar b.
Portanto, .

Passo 4

Agora que temos a e b, podemos escrever a equação padrão da elipse com centro na origem:
Substituindo e na equação:

Resposta

A equação da elipse é:

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