O potencial elétrico, em volts, em qualquer ponto do plano xy é dado por V(x, y) = e^(-2 x) cos(y) e, a distância é medida em metros. Determine a taxa de variação máxima do potencial V(x, y) em (0, pi/4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a taxa de variação máxima do potencial elétrico no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas parciais e o gradiente de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e a . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando a gente varia uma variável de cada vez.
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, formamos o vetor gradiente de , que junta essas duas derivadas parciais:
O gradiente aponta na direção da maior taxa de variação da função.

Passo 4

Vamos avaliar o gradiente no ponto específico :

Passo 5

A taxa de variação máxima é a magnitude do gradiente no ponto dado. Calculamos a magnitude assim:

Resposta

A taxa de variação máxima do potencial em é volts por metro.

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