O potencial elétrico, em volts, em qualquer ponto do plano xy é dado por e, a distância é medida em metros. Determine a taxa de variação máxima do potencial em .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a taxa de variação máxima do potencial elétrico no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas parciais e o gradiente de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e a . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando a gente varia uma variável de cada vez.
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:
Passo 3
Agora, formamos o vetor gradiente de , que junta essas duas derivadas parciais:
O gradiente aponta na direção da maior taxa de variação da função.
Passo 4
Vamos avaliar o gradiente no ponto específico :
Passo 5
A taxa de variação máxima é a magnitude do gradiente no ponto dado. Calculamos a magnitude assim:
Resposta
A taxa de variação máxima do potencial em é volts por metro.