Determine o domínio das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o domínio da função . Estamos lidando com funções que envolvem raízes quadradas e frações, então precisaremos garantir que tudo dentro da raiz seja maior ou igual a zero e que o denominador da fração não seja zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. No caso da nossa função, temos duas condições principais:
  1. O denominador da fração não pode ser zero.
  2. A expressão dentro da raiz quadrada deve ser maior ou igual a zero, porque a raiz quadrada de um número negativo não é real.

Passo 3

Vamos começar com a primeira condição: .
Então, não pode ser igual a .

Passo 4

Agora, vamos para a segunda condição: . Isso significa que a fração deve ser positiva ou zero. Para que isso aconteça, tanto o numerador quanto o denominador devem ter o mesmo sinal.
Vamos encontrar os pontos onde o numerador e o denominador são zero:
  • Numerador:
  • Denominador:
Esses pontos dividem a reta numérica em intervalos que vamos analisar:

Passo 5

Vamos testar cada intervalo para ver onde a fração é positiva ou zero:
  1. Para :
    • Numerador:
    • Denominador:
    • Ambos negativos ⇒ Fração positiva
  2. Para :
    • Numerador:
    • Denominador:
    • Sinais diferentes ⇒ Fração negativa
  3. Para :
    • Numerador:
    • Denominador:
    • Ambos positivos ⇒ Fração positiva

Passo 6

Além disso, no ponto , a fração é zero, o que é permitido dentro da raiz quadrada. Porém, está excluído porque o denominador seria zero.

Passo 7

Juntando tudo, o domínio da função é:

Resposta

O domínio da função é .

Exercícios relacionados

Identifique as superfícies de nível para e de:
Determine o domínio das seguintes funções:
O potencial elétrico, em volts, em qualquer ponto do plano xy é dado por e, a distância é medida em metros. Determine a taxa de variação máxima do potencial em .
Determine o domínio das seguintes funções: