Identifique as superfícies de nível
para
e
de:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para identificar as superfícies de nível da função
para três casos diferentes de
: quando
,
e
. Superfícies de nível são como “cortes” da função onde ela assume um valor constante
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre superfícies quadráticas e como elas se comportam dependendo dos coeficientes e do valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação das superfícies de nível:
Essa é uma equação quadrática em
,
e
. Dependendo do valor de
, o tipo de superfície que essa equação representa pode mudar. Para entender melhor, vamos analisar cada caso separadamente.
Passo 3
Caso 1:
Quando
é positivo, a equação geral se assemelha a:
Isso é similar a uma hiperboloide de uma folha, mas como temos dois termos positivos e um negativo, na verdade, é uma hiperboloide de duas folhas. Essa superfície consiste em duas “folhas” espelhadas abertas ao longo do eixo onde o coeficiente é negativo, que no nosso caso é o eixo
.
Passo 4
Caso 2:
Quando
é zero, a equação fica:
Para essa equação ser verdadeira, os termos positivos e negativos devem se equilibrar. Isso só acontece de forma trivial se todos os termos individuais forem zero:
Portanto, quando
, a superfície de nível é apenas o ponto na origem
.
Passo 5
Caso 3:
Quando
é negativo, a equação se reescreve como:
Podemos rearranjar para:
Dividindo tudo por
negativo:
Simplificando os sinais:
Isso se assemelha a uma hiperboloide de uma folha, onde apenas um termo é positivo (no caso, o de
) e os outros são negativos. Essa superfície tem uma única “folha” estendendo-se ao longo do eixo
.
Resposta
As superfícies de nível da função
são:
- Para
: uma hiperboloide de duas folhas. - Para
: o ponto na origem . - Para
: uma hiperboloide de uma folha.
Exercícios relacionados
Determine o domínio das seguintes funções:
Parametrize a curva de interseção entre o cilindro
e o plano
.
Determine o domínio das seguintes funções:
O potencial elétrico, em volts, em qualquer ponto do plano xy é dado por
e, a distância é medida em metros. Determine a taxa de variação máxima do potencial
em
.