Identifique as superfícies de nível para e de:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para identificar as superfícies de nível da função para três casos diferentes de : quando , e . Superfícies de nível são como “cortes” da função onde ela assume um valor constante . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre superfícies quadráticas e como elas se comportam dependendo dos coeficientes e do valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação das superfícies de nível:
Essa é uma equação quadrática em , e . Dependendo do valor de , o tipo de superfície que essa equação representa pode mudar. Para entender melhor, vamos analisar cada caso separadamente.

Passo 3

Caso 1:
Quando é positivo, a equação geral se assemelha a:
Isso é similar a uma hiperboloide de uma folha, mas como temos dois termos positivos e um negativo, na verdade, é uma hiperboloide de duas folhas. Essa superfície consiste em duas “folhas” espelhadas abertas ao longo do eixo onde o coeficiente é negativo, que no nosso caso é o eixo .

Passo 4

Caso 2:
Quando é zero, a equação fica:
Para essa equação ser verdadeira, os termos positivos e negativos devem se equilibrar. Isso só acontece de forma trivial se todos os termos individuais forem zero:
Portanto, quando , a superfície de nível é apenas o ponto na origem .

Passo 5

Caso 3:
Quando é negativo, a equação se reescreve como:
Podemos rearranjar para:
Dividindo tudo por negativo:
Simplificando os sinais:
Isso se assemelha a uma hiperboloide de uma folha, onde apenas um termo é positivo (no caso, o de ) e os outros são negativos. Essa superfície tem uma única “folha” estendendo-se ao longo do eixo .

Resposta

As superfícies de nível da função são:
  • Para : uma hiperboloide de duas folhas.
  • Para : o ponto na origem .
  • Para : uma hiperboloide de uma folha.

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