Determine o domínio das seguintes funções:

Passo 1

Vamos analisar a função para determinar seu domínio. Isso significa descobrir para quais valores de a função está definida. Para isso, precisamos entender dois pontos: funções racionais (porque temos uma fração) e funções com raiz quadrada (pois há um radical na expressão). Vamos precisar garantir que o denominador da fração não seja zero e que o que está dentro da raiz seja maior ou igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que o denominador da fração não seja zero, porque dividir por zero não é permitido. Então, precisamos resolver:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Isso significa que não pode ser igual a -1.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o que está dentro da raiz: . Como estamos tirando a raiz quadrada, o valor dentro dela tem que ser maior ou igual a zero:
Isso é porque não podemos tirar raiz quadrada de um número negativo no conjunto dos números reais.

Passo 4

Vamos resolver a inequação . Para isso, identificamos os pontos onde a expressão muda de sinal, que são os valores que fazem o numerador ou o denominador zero.
  • O numerador
  • O denominador já foi excluído ( )
Então, vamos considerar os intervalos baseados nesses pontos: , e .

Passo 5

Vamos testar cada intervalo para ver onde a expressão é positiva ou zero:
  1. Para :
    • Numerador é negativo.
    • Denominador é negativo.
    • O quociente de dois negativos é positivo.
  2. Para :
    • Numerador é negativo.
    • Denominador é positivo.
    • O quociente de um negativo e um positivo é negativo.
  3. Para :
    • Numerador é positivo.
    • Denominador é positivo.
    • O quociente de dois positivos é positivo.

Passo 6

Queremos onde . Observando os intervalos testados:
  • : Positivo
  • : Negativo
  • : Positivo
Portanto, os valores de que satisfazem a condição são aqueles menores que -1 ou maiores ou iguais a 0.

Resposta

O domínio da função é .

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