Determine, em R, o domínio das seguintes funções. f(x) = log_x(x^2 + x - 2)

Passo 1

Beleza, vamos analisar o exercício que você enviou. A gente precisa determinar o domínio da função no conjunto dos números reais ( ). Para resolver isso, vamos precisar entender algumas propriedades das funções logarítmicas, especialmente sobre quais valores de a função está definida.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que, para uma função logarítmica ser válida, duas condições devem ser satisfeitas:
  1. A base do logaritmo deve ser positiva e diferente de 1. Ou seja:
  2. O argumento do logaritmo deve ser positivo. Então:
No nosso caso, e . Vamos aplicar essas condições à função dada.

Passo 3

Primeira condição: A base deve ser positiva e diferente de 1.
Isso significa que deve ser maior que 0, mas não pode ser igual a 1.

Passo 4

Segunda condição: O argumento deve ser positivo.
Vamos resolver essa inequação quadrática. Primeiro, encontraremos as raízes da equação usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e .
Isso nos dá as raízes:
Agora, analisamos os intervalos determinados por essas raízes para ver onde a expressão é positiva:
  • Para : A expressão é positiva.
  • Para : A expressão é negativa.
  • Para : A expressão é positiva.
Portanto, a inequação é satisfeita quando ou .

Passo 5

Finalmente, precisamos combinar as duas condições que obtivemos:
  1. e
  2. ou
Vamos analisar os intervalos:
  • Intervalo : Aqui, é negativo ( ), o que não satisfaz a primeira condição ( ). Logo, descartamos esse intervalo.
  • Intervalo : Aqui, é positivo e diferente de 1. Portanto, satisfaz ambas as condições.

Resposta

O domínio da função em é:

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