Determine, em
, o domínio das seguintes funções.
Passo 1
Beleza, vamos analisar o exercício que você enviou. A gente precisa determinar o domínio da função
no conjunto dos números reais (
). Para resolver isso, vamos precisar entender algumas propriedades das funções logarítmicas, especialmente sobre quais valores de
a função está definida.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que, para uma função logarítmica
ser válida, duas condições devem ser satisfeitas:
-
A base
do logaritmo deve ser positiva e diferente de 1. Ou seja: -
O argumento
do logaritmo deve ser positivo. Então:
No nosso caso,
e
. Vamos aplicar essas condições à função dada.
Passo 3
Primeira condição: A base
deve ser positiva e diferente de 1.
Isso significa que
deve ser maior que 0, mas não pode ser igual a 1.
Passo 4
Segunda condição: O argumento
deve ser positivo.
Vamos resolver essa inequação quadrática. Primeiro, encontraremos as raízes da equação
usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
.
Isso nos dá as raízes:
Agora, analisamos os intervalos determinados por essas raízes para ver onde a expressão é positiva:
- Para
: A expressão é positiva. - Para
: A expressão é negativa. - Para
: A expressão é positiva.
Portanto, a inequação
é satisfeita quando
ou
.
Passo 5
Finalmente, precisamos combinar as duas condições que obtivemos:
-
e -
ou
Vamos analisar os intervalos:
-
Intervalo
: Aqui, é negativo ( ), o que não satisfaz a primeira condição ( ). Logo, descartamos esse intervalo. -
Intervalo
: Aqui, é positivo e diferente de 1. Portanto, satisfaz ambas as condições.
Resposta
O domínio da função
em
é:
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Determine, em
, o domínio das seguintes funções.
Determine o período, a imagem e faça o gráfico de um período completo das funções dadas.
Resolver a inequação
.