Usando coordenadas polares, determine o volume do solido delimitado pelo plano e pelo paraboloide .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o volume do sólido que está limitado pelo plano (ou seja, onde ) e pelo paraboloide . Vamos usar coordenadas polares para facilitar os cálculos. Para isso, precisamos lembrar que em coordenadas polares, e , e a área diferencial vira .
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde o paraboloide intercepta o plano . Isso acontece quando :
Rearranjando, temos:
Isso significa que a interseção é um círculo de raio 2 no plano . Em coordenadas polares, isso corresponde a .
Passo 3
Agora, vamos montar a integral para calcular o volume. Em coordenadas polares, o volume pode ser expresso como: