1,5 Usando coordenadas polares, determine o volume do solido delimitado pelo plano x y e pelo paraboloide z = 4 - x^2 - y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o volume do sólido que está limitado pelo plano (ou seja, onde ) e pelo paraboloide . Vamos usar coordenadas polares para facilitar os cálculos. Para isso, precisamos lembrar que em coordenadas polares, e , e a área diferencial vira .

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde o paraboloide intercepta o plano . Isso acontece quando :
Rearranjando, temos:
Isso significa que a interseção é um círculo de raio 2 no plano . Em coordenadas polares, isso corresponde a .

Passo 3

Agora, vamos montar a integral para calcular o volume. Em coordenadas polares, o volume pode ser expresso como:
Onde , já que .

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 5

Primeiro, resolvemos a integral em relação a :
Calculando nos limites:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, resolvemos a integral em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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