Determine o período, a imagem e faça o gráfico de um período completo das funções dadas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o período, a imagem e fazer o gráfico de um período completo para a função dada:
. Vamos usar conhecimentos de funções trigonométricas, especialmente sobre a função cosseno, para chegar nas respostas.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o período de uma função trigonométrica. O período é o intervalo no qual a função completa um ciclo completo e começa a se repetir. Para a função cosseno padrão
, o período é
. Quando a função é modificada para
, o período muda para
, onde
é o coeficiente que está multiplicando
dentro da função.
Passo 3
Na nossa função
, o coeficiente
é 3. Então, aplicando a fórmula do período:
Portanto, o período da função é
.
Passo 4
Agora, vamos determinar a imagem da função. A imagem é o conjunto de valores que a função pode assumir. Para a função cosseno padrão
, os valores variam entre -1 e 1, ou seja,
.
Passo 5
Na nossa função
, temos duas transformações:
- Amplitude: O número 2 multiplicando o cosseno aumenta a amplitude da função. A amplitude agora é 2, então o cosseno varia entre -2 e 2.
- Translação vertical: O número 1 adicionado à função desloca o gráfico para cima em 1 unidade.
Então, a imagem da função será:
Ou seja, os valores de
vão de -1 a 3.
Passo 6
Por fim, vamos falar sobre o gráfico de um período completo da função. Sabemos que:
- O período é
, então vamos plotar de até . - A amplitude é 2, o que significa que a função oscila 2 unidades para cima e para baixo a partir da linha central.
- A translação vertical é 1, então a linha central está em
.
No gráfico:
- O ponto máximo será
. - O ponto mínimo será
. - A função começará no máximo
quando , descerá até no meio do período, e voltará a 3 em .
Resposta
- Período:
- Imagem:
- Gráfico: O gráfico de
é uma curva em forma de cosseno que começa no ponto máximo , desce até e retorna ao máximo em , completando assim um ciclo completo.
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