Determine o período, a imagem e faça o gráfico de um período completo das funções dadas. f(x) = 1 + 2 cos(3 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o período, a imagem e fazer o gráfico de um período completo para a função dada: . Vamos usar conhecimentos de funções trigonométricas, especialmente sobre a função cosseno, para chegar nas respostas.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o período de uma função trigonométrica. O período é o intervalo no qual a função completa um ciclo completo e começa a se repetir. Para a função cosseno padrão , o período é . Quando a função é modificada para , o período muda para , onde é o coeficiente que está multiplicando dentro da função.

Passo 3

Na nossa função , o coeficiente é 3. Então, aplicando a fórmula do período:
í
Portanto, o período da função é .

Passo 4

Agora, vamos determinar a imagem da função. A imagem é o conjunto de valores que a função pode assumir. Para a função cosseno padrão , os valores variam entre -1 e 1, ou seja, .

Passo 5

Na nossa função , temos duas transformações:
  1. Amplitude: O número 2 multiplicando o cosseno aumenta a amplitude da função. A amplitude agora é 2, então o cosseno varia entre -2 e 2.
  2. Translação vertical: O número 1 adicionado à função desloca o gráfico para cima em 1 unidade.
Então, a imagem da função será:
Ou seja, os valores de vão de -1 a 3.

Passo 6

Por fim, vamos falar sobre o gráfico de um período completo da função. Sabemos que:
  • O período é , então vamos plotar de até .
  • A amplitude é 2, o que significa que a função oscila 2 unidades para cima e para baixo a partir da linha central.
  • A translação vertical é 1, então a linha central está em .
No gráfico:
  • O ponto máximo será .
  • O ponto mínimo será .
  • A função começará no máximo quando , descerá até no meio do período, e voltará a 3 em .

Resposta

  • Período:
  • Imagem:
  • Gráfico: O gráfico de é uma curva em forma de cosseno que começa no ponto máximo , desce até e retorna ao máximo em , completando assim um ciclo completo.

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