Esboce o gráfico das seguintes funções.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar o gráfico da função
. Estamos trabalhando com funções logarítmicas, então vamos precisar entender como elas se comportam e quais são suas características principais para desenhar o gráfico certinho.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O logaritmo só funciona com números positivos, ou seja, o que está dentro do logaritmo,
, tem que ser maior que zero:
Resolvendo essa desigualdade:
Então, o domínio da função é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a assíntota vertical. Em funções logarítmicas, essa assíntota é o valor de
que faz o argumento do log igual a zero. Já vimos que isso acontece quando
, ou seja, quando
. Então, temos uma assíntota vertical em
.
Passo 4
Vamos identificar o intercepto com o eixo x. Para isso, fazemos
:
Sabemos que
, então:
Então, o ponto de intercepto com o eixo x é
.
Passo 5
Agora, vamos identificar o intercepto com o eixo y. Para isso, colocamos
. Mas lembrando do domínio, nosso
precisa ser maior que
. Se colocarmos
, o argumento do log fica negativo (
), o que não é permitido. Portanto, não há intercepto com o eixo y.
Passo 6
Vamos entender a forma geral da função logarítmica
, onde
. Ela tem uma curva que passa pelo ponto
, com assíntota vertical em
. No nosso caso, a função está transformada para
, o que significa que houve uma translação horizontal.
Passo 7
Para desenhar o gráfico, consideramos a assíntota vertical em
, o intercepto em
e traçamos a curva que se aproxima da assíntota conforme
tende a
e aumenta para o infinito.
Resposta
O gráfico da função
tem uma assíntota vertical em
, passa pelo ponto
e se estende para a direita, aproximando-se da assíntota conforme
aumenta.
Gráfico Esquemático
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|-------------(1,0)------------
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