Esboce o gráfico das seguintes funções. f(x) = log_3(2x - 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar o gráfico da função . Estamos trabalhando com funções logarítmicas, então vamos precisar entender como elas se comportam e quais são suas características principais para desenhar o gráfico certinho.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O logaritmo só funciona com números positivos, ou seja, o que está dentro do logaritmo, , tem que ser maior que zero:
Resolvendo essa desigualdade:
Então, o domínio da função é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a assíntota vertical. Em funções logarítmicas, essa assíntota é o valor de que faz o argumento do log igual a zero. Já vimos que isso acontece quando , ou seja, quando . Então, temos uma assíntota vertical em .

Passo 4

Vamos identificar o intercepto com o eixo x. Para isso, fazemos :
Sabemos que , então:
Então, o ponto de intercepto com o eixo x é .

Passo 5

Agora, vamos identificar o intercepto com o eixo y. Para isso, colocamos . Mas lembrando do domínio, nosso precisa ser maior que . Se colocarmos , o argumento do log fica negativo ( ), o que não é permitido. Portanto, não há intercepto com o eixo y.

Passo 6

Vamos entender a forma geral da função logarítmica , onde . Ela tem uma curva que passa pelo ponto , com assíntota vertical em . No nosso caso, a função está transformada para , o que significa que houve uma translação horizontal.

Passo 7

Para desenhar o gráfico, consideramos a assíntota vertical em , o intercepto em e traçamos a curva que se aproxima da assíntota conforme tende a e aumenta para o infinito.

Resposta

O gráfico da função tem uma assíntota vertical em , passa pelo ponto e se estende para a direita, aproximando-se da assíntota conforme aumenta.

Gráfico Esquemático

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