Determine o domínio das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o domínio da função
. O que precisamos entender aqui é que o domínio são todos os valores de
que fazem a expressão dentro da raiz ser maior ou igual a zero, já que a raiz quadrada de número negativo não é definida nos números reais. Para isso, vamos precisar usar álgebra para resolver inequações e entender onde o produto das duas expressões dentro da raiz é positivo ou zero.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as duas expressões dentro da raiz separadamente:
e
. Precisamos encontrar os zeros de cada uma delas, ou seja, os valores de
que tornam cada expressão igual a zero. Esses pontos são importantes porque mudam o sinal das expressões.
Passo 3
Vamos começar com a primeira expressão:
.
Para encontrar os zeros, resolvemos a equação:
Multiplicando todos os termos por
para facilitar:
Agora, fatorando:
Então, as soluções são
e
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar os zeros da segunda expressão:
.
Primeiro, fatoramos:
Assim, as soluções são
e
.
Passo 5
Agora que temos todos os zeros das duas expressões, vamos listar todos eles em ordem crescente para facilitar a análise dos intervalos:
Esses pontos dividem a reta real em cinco intervalos:
Passo 6
Vamos determinar o sinal da expressão
em cada um desses intervalos. Para isso, escolhemos um valor de
dentro de cada intervalo e substituímos nas duas expressões:
-
Intervalo
: -
: negativo -
: positivo - Produto: negativo
-
-
Intervalo
: -
: negativo -
: negativo - Produto: positivo
-
-
Intervalo
: -
: positivo -
: negativo - Produto: negativo
-
-
Intervalo
: -
: positivo -
: positivo - Produto: positivo
-
-
Intervalo
: -
: negativo -
: positivo - Produto: negativo
-
Passo 7
Agora, identificamos onde o produto é maior ou igual a zero:
- No intervalo
- No intervalo
Além disso, precisamos verificar os pontos onde o produto é igual a zero, ou seja, onde
. Nesses pontos, a expressão dentro da raiz é zero, o que é permitido.
Resposta
O domínio da função
é:
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Considere a função linear
. Se
e
, quanto vale
?
Uma fábrica de jogos eletrônicos sabe que o custo de produzir
jogos em um dia é de
. Além disso, cada jogo é vendido por
para os lojistas. Sabe-se que a receita dessa empresa,
, é dada pelo produto do valor de venda de cada unidade pelo número de jogos produzidos,
(suponha que todos os jogos produzidos são vendidos) Além disso, pode-se estimar que o lucro dela,
, é dada pela diferença entre a receita,
, e o custo,
. Escreva uma expressão para
e determine o lucro máximo diário dessa indústria.