Determine o domínio das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o domínio da função . O que precisamos entender aqui é que o domínio são todos os valores de que fazem a expressão dentro da raiz ser maior ou igual a zero, já que a raiz quadrada de número negativo não é definida nos números reais. Para isso, vamos precisar usar álgebra para resolver inequações e entender onde o produto das duas expressões dentro da raiz é positivo ou zero.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as duas expressões dentro da raiz separadamente: e . Precisamos encontrar os zeros de cada uma delas, ou seja, os valores de que tornam cada expressão igual a zero. Esses pontos são importantes porque mudam o sinal das expressões.

Passo 3

Vamos começar com a primeira expressão: .
Para encontrar os zeros, resolvemos a equação:
Multiplicando todos os termos por para facilitar:
Agora, fatorando:
Então, as soluções são e .

Passo 4

Agora, vamos encontrar os zeros da segunda expressão: .
Primeiro, fatoramos:
Assim, as soluções são e .

Passo 5

Agora que temos todos os zeros das duas expressões, vamos listar todos eles em ordem crescente para facilitar a análise dos intervalos:
Esses pontos dividem a reta real em cinco intervalos:

Passo 6

Vamos determinar o sinal da expressão em cada um desses intervalos. Para isso, escolhemos um valor de dentro de cada intervalo e substituímos nas duas expressões:
  1. Intervalo :
    • : negativo
    • : positivo
    • Produto: negativo
  2. Intervalo :
    • : negativo
    • : negativo
    • Produto: positivo
  3. Intervalo :
    • : positivo
    • : negativo
    • Produto: negativo
  4. Intervalo :
    • : positivo
    • : positivo
    • Produto: positivo
  5. Intervalo :
    • : negativo
    • : positivo
    • Produto: negativo

Passo 7

Agora, identificamos onde o produto é maior ou igual a zero:
  • No intervalo
  • No intervalo
Além disso, precisamos verificar os pontos onde o produto é igual a zero, ou seja, onde . Nesses pontos, a expressão dentro da raiz é zero, o que é permitido.

Resposta

O domínio da função é:

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