Determine o domínio das seguintes funções: e)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o domínio da função . O conteúdo envolve funções e, especificamente, funções que contêm raízes quadradas. Para encontrar o domínio, precisamos identificar todos os valores de que tornam a expressão dentro da raiz real e não negativa.

Passo 2

Primeiro, olhamos para a expressão dentro da raiz: . Para que a raiz quadrada seja válida, essa expressão precisa ser maior ou igual a zero. Então, estabelecemos a seguinte desigualdade:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão . Podemos fatorar em comum:
Isso nos ajuda a identificar os valores críticos onde a expressão pode mudar de sinal.

Passo 4

Agora, fatoramos ainda mais para facilitar a análise:
Temos, portanto, três fatores: , e . Os valores que zeram cada fator são , e . Esses valores dividem a reta real em quatro intervalos que vamos analisar.

Passo 5

Vamos testar cada intervalo para ver onde a expressão é maior ou igual a zero:
  1. Intervalo :
    • é negativo
    • é positivo
    • é negativo
    • Produto: negativo
  2. Intervalo :
    • é negativo
    • é positivo
    • é positivo
    • Produto: positivo
  3. Intervalo :
    • é positivo
    • é positivo
    • é positivo
    • Produto: positivo
  4. Intervalo :
    • é positivo
    • é negativo
    • é positivo
    • Produto: negativo

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os números reais tais que:

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Encontre a solução particular determinada pela condição inicial dada.
Determine o domínio das seguintes funções:
a)
Calcule para
Transforme a integral de coordenadas polares para coordenadas cartesianas, tomando: como variável independente;