Encontre a solução particular determinada pela condição inicial dada. (y+7) dx + (2x+y+3) dy = 0, y(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: , sabendo que quando x = 0, y = 1. Estamos trabalhando com equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, precisamos verificar se a equação é exata ou encontrar um fator integrante para torná-la exata. Vamos precisar de conhecimentos sobre derivadas parciais e condições de exatidão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que multiplicam e . Chamamos de e . A equação fica assim: .

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de M em relação a y e de N em relação a x e ver se elas são iguais.
Calculando:
Como , a equação não é exata.

Passo 4

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que dependa apenas de x ou apenas de y. Vamos tentar encontrar um fator que dependa apenas de x.
A fórmula para o fator integrante mu(x), quando depende só de x, é:
Substituindo os valores:
Mas percebemos que essa integração não depende apenas de x, então vamos tentar um fator que dependa de y.

Passo 5

Agora, vamos tentar um fator integrante que depende apenas de y. A fórmula é:
Substituindo:
Novamente, a integração não depende apenas de y de forma simples, então parece que precisamos pensar em outra estratégia.

Passo 6

Vamos tentar reescrever a equação original de uma forma que facilite a identificação de uma solução. Podemos reorganizar os termos:
Isolando :
Agora temos uma equação linear na forma , onde:

Passo 7

Para resolver essa equação linear, precisamos encontrar o fator integrante mu(y) que é dado por:
Multiplicamos a equação inteira por mu(y):
Isso simplifica para:

Passo 8

Agora, integramos ambos os lados em relação a y:
Assim:
Integrando o lado direito:

Passo 9

Isolando x:
Simplificando a expressão, obtemos a solução geral da equação diferencial.

Passo 10

Agora, aplicamos a condição inicial y(0) = 1 para encontrar a constante C. Substituindo x = 0 e y = 1 na equação:
Multiplicando ambos os lados por 64:

Resposta

A solução particular que satisfaz a condição inicial y(0) = 1 é:

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