Encontre a solução particular determinada pela condição inicial dada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: , sabendo que quando , . Estamos trabalhando com equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, precisamos verificar se a equação é exata ou encontrar um fator integrante para torná-la exata. Vamos precisar de conhecimentos sobre derivadas parciais e condições de exatidão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que multiplicam e . Chamamos de e . A equação fica assim: .

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a e ver se elas são iguais.
Calculando:
Como , a equação não é exata.

Passo 4

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que dependa apenas de ou apenas de . Vamos tentar encontrar um fator que dependa apenas de .
A fórmula para o fator integrante , quando depende só de , é:
Substituindo os valores:
Mas percebemos que essa integração não depende apenas de , então vamos tentar um fator que dependa de .

Passo 5

Agora, vamos tentar um fator integrante que depende apenas de . A fórmula é:
Substituindo:
Novamente, a integração não depende apenas de de forma simples, então parece que precisamos pensar em outra estratégia.

Passo 6

Vamos tentar reescrever a equação original de uma forma que facilite a identificação de uma solução. Podemos reorganizar os termos:
Isolando :
Agora temos uma equação linear na forma , onde:

Passo 7

Para resolver essa equação linear, precisamos encontrar o fator integrante que é dado por:
Multiplicamos a equação inteira por :
Isso simplifica para:

Passo 8

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Assim:
Integrando o lado direito:

Passo 9

Isolando :
Simplificando a expressão, obtemos a solução geral da equação diferencial.

Passo 10

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante . Substituindo e na equação:
Multiplicando ambos os lados por 64:

Resposta

A solução particular que satisfaz a condição inicial é:

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