Encontre a solução particular determinada pela condição inicial dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
, sabendo que quando
,
. Estamos trabalhando com equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, precisamos verificar se a equação é exata ou encontrar um fator integrante para torná-la exata. Vamos precisar de conhecimentos sobre derivadas parciais e condições de exatidão.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que multiplicam
e
. Chamamos de
e
. A equação fica assim:
.
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
e ver se elas são iguais.
Calculando:
Como
, a equação não é exata.
Passo 4
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que dependa apenas de
ou apenas de
. Vamos tentar encontrar um fator que dependa apenas de
.
A fórmula para o fator integrante
, quando depende só de
, é:
Substituindo os valores:
Mas percebemos que essa integração não depende apenas de
, então vamos tentar um fator que dependa de
.
Passo 5
Agora, vamos tentar um fator integrante que depende apenas de
. A fórmula é:
Substituindo:
Novamente, a integração não depende apenas de
de forma simples, então parece que precisamos pensar em outra estratégia.
Passo 6
Vamos tentar reescrever a equação original de uma forma que facilite a identificação de uma solução. Podemos reorganizar os termos:
Isolando
:
Agora temos uma equação linear na forma
, onde:
Passo 7
Para resolver essa equação linear, precisamos encontrar o fator integrante
que é dado por:
Multiplicamos a equação inteira por
:
Isso simplifica para:
Passo 8
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Assim:
Integrando o lado direito:
Passo 9
Isolando
:
Simplificando a expressão, obtemos a solução geral da equação diferencial.
Passo 10
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
. Substituindo
e
na equação:
Multiplicando ambos os lados por 64:
Resposta
A solução particular que satisfaz a condição inicial
é:
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Calcule
para